Question

João e Paulo estão brincando com uma bola e jogando de um para o outro. Eles sabem que a trajetória da bola no ar é dada pela função $f\left(t\right)=-9x^2+30t$ƒ(t)=−9x2+30t, onde a função f é dada em metros e o tempo t em segundos. Após brincar por algum tempo, os amigos decidem determinar, após o lançamento, o tempo que a bola demora para começar a cair. Para isso eles seguiram os seguintes passos:

1. Primeiramente eles determinaram as raízes do polinômio fazendo f(t)=0.

2. Encontraram as raízes $t_1=0$t1=0 e $t_2=3,33$t2=3,33, aproximadamente.

3.Pela simetria da função quadrática em relação ao eixo X, inferiram que o máximo da função atingiria o seu máximo em 1,67 segundos, aproximadamente.

4. A bola começaria a cair após 1,67 segundos de seu lançamento.

Analise os passos utilizados pelos amigos João e Paulo e assinale a alternativa que contém a afirmação correta.

Todos os passos estão corretos e a conclusão também está correta.
Todos os passos estão corretos, mas a conclusãonão está correta.
O terceiro passo está errado, mas a conclusão está correta.
Tanto o terceiro passo quanto a conclusão estão incorretos.
Não é possível resolver o problema seguindo os passos determinados pelos amigos.

Answer 1

Com análise de elementos da parábola , gráfico da função, conclui-se que:

Raízes = { 0 ; 3,33 }   ; Máximo de 25 m aos 1,67 seg ; trajeto

descendente após 1,67 seg.

Função f (t) = - 9t² + 30t

Função do 2º grau onde a = - 9

• Com a < 0 o gráfico, a parábola tem concavidade virada para baixo.

• Na coordenada em y do Vértice tem seu valor máximo ( altura ).

• A coordenada em x do Vértice vai ser o momento em que tal
  máximo é atingido

1 ) e 2 )

Cálculo dos zeros

Todas as equações do 2º grau podem ser resolvidas através da Fórmula

de Bhaskara.

As funções completas do 2º grau são do tipo:

f ( x ) = ax² +bx +c     com a ≠ 0

Esta  aqui  é uma equação incompleta do 2º grau.

Há  caminhos mais curtos para a resolver

- 9t² + 30t = 0

- 9 * t * t + 30 t = 0

colocar em evidência o "t" que é comum aos dois monômios

t * ( - 9t + 30 ) = 0

Equação produto

t = 0    ∨   - 9t + 30 = 0

t = 0    ∨   - 9t  = - 30

t = 0    ∨   - 9t / ( - 9)  = - 30 / ( - 9 )

t = 0    ∨        t  =  30 /  9

t = 0    ∨       t  =  3,3333333 = 3,33 aproximadamente

3)

O eixo de simetria de parábolas é da forma:

x = k     k ∈ |R

e

$k = \dfrac{x_{1}+x_{2} }{2}$

Neste caso

$k=\dfrac{0+3,33}{2} =1,67...segundos$

Este valor de x corresponde também à abcissa ( coordenada em x ) do

Vértice da parábola.  

Fazendo f ( 1,67 ) encontra-se a ordenada ( coordenada em y ) do Vértice

e esta representa o valor máximo da função.

f ( 1,67 ) = - 9*(1,67)² + 30 * (1,67) = 25 m aproximadamente

4 )

Bola a cair

Depois de atingir o máximo de 25 m , aos 1,67 segundos, o trajeto da

parábola é descendente ( na metade ao lado direito ).

Todos os passos estão corretos e a conclusão também está correta.

Bons estudos

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( < )  menor do que      ( ≠ )   diferente de               ( ∨ )  ou

( * ) multiplicação         ( / ) divisão         ( ∈ )    pertencente a

( |R )   conjunto dos números reais

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.