Question

Já sei a resposta da equação homogênea, falta a não-homogênea dessa equação y'' + 2y = sen(4x)

Answer 1

resolvendo a parte não homogenea usando o metodo dos coeficientes a determinar

a solução será dada por
$\boxed{\boxed{y_p(x) = Acos(4x)+Bsen(4x)}}$

temos
$\bmatrix y=Acos(4x)+Bsen(4x)\\\\y'=-4Asen(4x)+4Bcos(4x)\\\\ {y''= -16Acos(4x)-16Bsen(4x)\end$

temos
$y''+2y=sen(4x)\\\\-16Acos(4x)-16Bsen(4x) + 2*[Acos(4x)+Bsen(4x)]=sen(4x)\\\\ -14Acos(4x)-14Bsen(4x)=sen(4x)\\\\ \Bmatrix-14Acos(4x)=0 \to A=0\\\\-14Bsen(4x)=sen(4x)\to B=- \frac{1}{14} \end$

logo a solução da é
$y_p(x)=0*cos(4x)+ \frac{-1}{14} sen(4x)\\\\\boxed{\boxed{y_p(x)= \frac{-1}{14}sen(4x) }}$