Question

ITA SP se 1 é uma raiz

Answer 1

Como $1$ é raiz dupla de $x^4+x^2+ax+b=0$, então $x^4+x^2+ax+b$ é divisível por $(x-1)^2$.

Vamos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini:

$1 \ | \ \ 1 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ a \ \ \ \ | \ \ \ \ \ \ b\\ '' \ | \ \ 1 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 2+a \ \ | \ 2+a+b$

Assim:

$q(x)=x^3+x^2+2x+2+a$
$r=2+a+b$

Como essa divisão é exata, devemos ter $2+a+b=0$

Dividindo $q(x)$ por $x-1$:

$1 \ | \ \ 1 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ | \ \ 2+a\\ '' \ | \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 4 \ \ | \ \ 6+a$

Como o resto dessa divisão é zero, temos que $6+a=0~\longrightarrow~\boxed{a=-6}$

Substituindo em $2+a+b=0$:

$2+a+b=0~\longrightarrow~2-6+b=0~\longrightarrow~-4+b=0~\longrightarrow~\boxed{b=4}$

Logo:

$a^2-b^3=(-6)^2-4^3$
$a^2-b^3=36-64$
$a^2-b^3=-28$

Alternativa C