Question

(ITA-SP) Quantos números inteiros existem de 1000 a 10000 que não são divisíveis nem por 5 nem por 7?

Answer 1

Divisíveis por 5 são : 
1000/5=200 
10000/5=2000 
2000-200+1=1801 ( o +1 é porque 1000 e 10000 estão incluídos) 

Divisíveis por 7 são : 
1000/7 ≈ 142.8 
Então o primeiro múltiplo de 7 superior a 1000 é 7x143 
10000/7 ≈ 1428.6 
Então o maior múltiplo de 7 inferior a 10000 é 7x1428 
1428-143+1=1286 

Agora falta saber quantos são simultaneamente divisíveis por 5 e por 7 
(para retirar este número,porque nas contagens anteriores,1801 e 1286,estes foram contados duas vezes) 

5 e 7 são primos entre si,ou seja, mdc (5,7) = 1 
Então um número ,para ser divisível por 5 e por 7,tem que ser divisível por 5x7=35. 

1000/35 ≈ 28.6 
Então o primeiro múltiplo de 35 superior a 1000 é 35x29 
10000/35 ≈ 285.6 
Então o maior múltiplo de 35 inferior a 10000 é 35x285 
285-29+1=257 

1801+1286-257=2830 divisíveis por 5 ou por 7 

Ora de 1000 a 10000,inclusivé,são 10000-1000+1=9001 números 

9001-2830=6171 não divisiveis nem por 5 nem por 7