Question

(ITA - SP) Quais são os números inteiros existem de 1000 a 10000 que não são divisíveis nem por 5 nem por 7?

Answer 1

Primeiramente, uma correção: O enunciado pergunta "quantos" e não "quais" são os números.

Dito isso, podemos resolver a questão com auxilio de tres PA's, uma sendo a PA dos divisíveis por 5 entre 1000 e 10000, outra sendo a PA dos divisíveis por 7 entre 1000 e 10000 e a ultima sendo a PA dos divisíveis por 5e7 ao mesmo tempo entre 1000 e 10000.

PA dos divisíveis por 5 (entre 1000 e 10000):

--> a1 = 1000                [primeiro divisível por 5 no intervalo]

--> an = 10000             [ultimo divisível por 5 no intervalo]

--> razão (r) = 5

Utilizando a equação do termo geral para acharmos a posição de an:

          $a_n=a_1+(n-1).r\\\\\\10000=1000+(n-1).5\\\\\\5.(n-1)=10000-1000\\\\\\n-1=\frac{9000}{5}\\\\\\n=1800+1\\\\\\\boxed{n=1801}$

PA dos divisíveis por 7 (entre 1000 e 10000):

--> a1 = 1001                [primeiro divisivel por 7 no intervalo]

--> an = 9996             [ultimo divisivel por 7 no intervalo]

--> razão (r) = 7

Utilizando a equação do termo geral para acharmos a posição de an:

          $a_n=a_1+(n-1).r\\\\\\9996=1001+(n-1).7\\\\\\7.(n-1)=9996-1001\\\\\\n-1=\frac{8995}{7}\\\\\\n=1285+1\\\\\\\boxed{n=1286}$

PA dos divisíveis por 5e7 ao mesmo tempo (entre 1000 e 10000):

--> Note que, para ser divisivel por 5e7 ao mesmo tempo, um numero deve ser divisivel por 35 (5 x 7).

--> a1 = 1015                [primeiro divisível por 35 no intervalo]

--> an = 9975             [ultimo divisível por 35 no intervalo]

--> razão (r) = 35

Utilizando a equação do termo geral para acharmos a posição de an:

          $a_n=a_1+(n-1).r\\\\\\9975=1015+(n-1).35\\\\\\35.(n-1)=9975-1015\\\\\\n-1=\frac{8960}{35}\\\\\\n=256+1\\\\\\\boxed{n=257}$

Portanto a quantidade de numeros inteiros que não são divisiveis nem por 5 nem por 7 será dado por:

          $Quantidade = 9001-\left((Divisiveis~por~5)+(Divisiveis~por~7)-(Divisiveis~por~35)\right)\\\\Quantidade = 9001-\left(1801 + 1286-257\right)\\\\Quantidade =9001-2830\\\\\boxed{Quantidade = 6171}$