Question

(ITA SP) Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados AB , BC e AC , respectivamente, tais que

A) P é o ponto médio de AB;

B) M é o ponto médio de BC;

C) PN é a bissetriz do ângulo APˆC .

Então, o comprimento do segmento MN é igual a

a) √10-4√3

b) √5-2√3

c) √6-3√3

d) √10-5√3

e) √5√3-5

Answer 1

I) No triângulo APC, retângulo em P, temos:

AP2 + PC2 = AC2 ⇔ 12 + PC2 = 22 ⇒ PC = 3

II) Pelo teorema da bissetriz, temos:

= ⇒ = ⇔

⇔ 2 3 – 3 CN = CN ⇔ 2 3 = ( 3 + 1) CN ⇔

⇔ CN = 3 – 3

III) No triângulo CMN, temos

MN2 = CM2 + CN2 – 2 . CM . CN . cos 60° ⇔

⇔ MN2 = 12 + (3 – 3)2 – 2

. 1 . (3 – 3) . ⇔

⇔ MN2 = 10 – 5 3 ⇒ MN = 10 – 5 3

Resposta: D