Question

(ITA-SP) A equação x = 1,0 sen (2,0t) expressa a posição de uma partícula em unidades do Sistema Internacional. Qual seria a forma do gráfico v (velocidade) em função de x (posição) dessa partícula?
Gabarito: elipse
Gostaria de uma explicação detalhada de como chegar nessa conclusão

Answer 1

Essa é uma atípica questão que pode ser solucionada recorrendo ao conceito de velocidade instantânea. Seu próprio enunciado nos fornece a equação (função) x = x(t) = sen(2t), e esta, por sua vez, é a função que expressa o deslocamento/posição de uma partícula em unidades do Sistema Internacional (SI). Posto isso, o exercício solicita o reconhecimento da curva representativa (gráfico) da velocidade v da partícula em função de sua posição x. Para isso, lembremos da definição de velocidade instantânea, donde tiramos que esta (representada por v(t) = v) é dada pela derivada primeira da função posição x(t) em relação ao tempo t, ou ainda, de maneira equivalente, pela taxa de variação da distância (obtida por meio de x(t)) em relação ao tempo t. Matematicamente, isso é expresso por:

$\sf{v=\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{dx}{dt}=x\,'(t)}$

Geralmente, costuma-se dizer simplesmente "a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo" ou "a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo". Do Cálculo Diferencial, temos que a derivada de primeira ordem x'(t) da função posição x(t) = sen(2t) é dada por:

$\sf{x\,'(t)=\dfrac{dx}{dt}=2\, cos\big(2t\big)=v(t)}$

Desse modo, conseguimos escrever a função velocidade v(t) = v em função de t. Agora, para escrever v em termos de x, vamos partir da equação v = 2cos(2t) e proceder da seguinte maneira:

$\sf\qquad \ \,\, \: v=2\,cos\big(2t\big)}\\\\ \sf{\Longrightarrow\ \ \ v^2=2^2 cos^{2}\big(2t\big)}\\\\ \sf{\Longrightarrow\ \ \ v^2=4\,cos^2\big(2t\big)\qquad(i)}$

Da trigonometria circular, sabemos que cos²(2t) = 1 - sen²(2t). Este resultado equivale a sen²(2t) + cos²(2t) = 1, e é facilmente obtido mediante a substituição θ = 2t na famosa equação/identidade trigonométrica fundamental (em termos de θ) sen²θ + cos²θ = 1. Substituindo cos²(2t) por 1 - sen²(2t) em (i), obtemos:

$\sf{\qquad\ \ \: v^2=4\big[1-sen^2\big(2t\big)\big]}\\\\\ \sf{\Longrightarrow\ \ \ v^2=4-4\underbrace{\sf sen^2\big(2t\big)}_{x^2}}$

$\sf{\Longrightarrow\ \ \ v^2=4-4x^2}\\\\ \sf{\Longrightarrow\ \ \ v^2+4x^2=4}\\\\ \sf{\Longrightarrow\ \ \ \dfrac{v^2}{4}+x^2=1}\\\\\\ \sf{\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\sf \dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{v^2}{2^2}=1}}$

, que é a equação canônica de uma elipse com semieixos focal e não focal medindo 1 e 2.