Question

ITA) Seja P = sen² ax - sen² bx. Temos, então:


a) P = sen ax * cos bx

b) P = cos(a/2) * x tg bx

c) P = 2 sen [(a+b)/2]*x*cos[(a+b)/2]*x

d) P = sen [(a +b)x]* sen [(a-b)x]

e) P = sen² (ax - bx)

Answer 1

$P = sen^2(ax) - sen^2(bx).[sen^2(ax)+cos^2(ax) P = sen^2(ax) - sen^2(bx).sen^2(ax)- sen^2(bx).cos^2(ax) P = sen^2(ax)[1 - sen^2(bx)]- sen^2(bx).cos^2(ax) Como, cos^2(bx)=1 - sen^2(bx) temos, P = sen^2(ax).cos^2(bx)- sen^2(bx).cos^2(ax) Sabendo que a^2-b^2=(a+b).(a-b) Entao P=[sen(ax).cos(bx)+ sen(bx).cos(ax)].[sen(ax).cos(bx)-sen(bx).cos(ax)] Portanto, \boxed{P = sen^2(ax)-sen^2(bx)=sen(ax+bx).sen(ax-bx)}$

sendo assim a resposta é a letra D

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Slade, que temos a seguinte expressão:

P = sen²(ax) - sen²(bx) .

Note que temos aí a diferença entre dois quadrados, o que poderá ser expresso da seguinte forma:

P = sen(ax+bx) * sen(ax-bx)

Note que poderemos colocar "x" em evidência nos dois fatores, pois o "x" é comum em ambos os fatores, com o que ficaremos assim:

P = sen[(a+b)x] * sen[(a-b)x]  <---- Entendemos que esta seja a resposta. Opção "d".

A propósito, note que se você sair da função acima, que é P = sen[(a+b)x] * sen[(a-b)x] , chegará, necessariamente, na expressão original que é: P = sen²(ax) - sen²(bx).
Vamos mostrar isso. Por ora, para facilitar, vamos utilizar apenas sen(a+b)*sen(a-b). Depois colocaremos o "x". Veja:

P = sen(a+b)*sen(a-b)

Antes lembre-se que:
sen(x+y) = senx.cosy+seny.cosx
e
sen(x-y) = senx.cosy-seny.cosx.

Então, utilizando isso teremos:

P = [sen(a).cos(b)+sen(b).cos(a)]*[sen(a).cos(b)-sen(b).cos(a)] ---- desenvolvendo temos (veja que se trata da diferença entre dois quadrados):
 
P = sen²(a).cos²(b) - sen²(b).cos²(a)

Agora veja que:

cos²(b) = 1-sen²(b)
e
cos²(a) = 1-sen²(a)
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

P = sen²(a).[1-sen²(b)] - sen²(b).[1-sen²(a)]  ----- desenvolvendo, teremos
P = sen²(a)-sen²(a).sen²(b) - [sen²(b)-sen²(b).sen²(a)] ---- retirando-se os colchetes, teremos:

P = sen²(a) - sen²(a).sen²(b) - sen²(b) + sen²(a).sen²(b) ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

P = sen²(a) - sen²(b) ----- agora poderemos por o "x", ficando:
P = sen²(ax) - sen²(bx) <--- Veja como voltamos à expressão original, o que prova que a opção correta é a da letra "d", que elegemos na nossa resposta. 

Veja se o gabarito da questão "bate" com a resposta que demos aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.