Question

(ITA)Se (X0,Y0) é uma solução do sistema abaixo.
${\left\{\begin{matrix}log_{2}(x+2y)-log_{3}(x-2y)=2\\x^2-4y=4\end{matrix}\right.}$
Então X0 + Y0 é igual a :

a)7/4
b)9/4
c)11/4
d)13/4
e)17/4

Answer 1

log2 (x+2y) - log3 (x-2y)=2

x²-4y=4

reescrevendo 2 como a soma de logaritmos nas bases 2 e 3

log 2 (4) - log3 (1)=2

x+2y=4

x-2y=1

resolvendo este sistema obtemos as seguintes soluções:

2x=5

x=5/2

y=3/4

agora somando,

X0+Y0=5/2+3/4

X0+Y0=13/4 //.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\sf \begin{cases} \sf log_{2}~(p+2q)-log_{3}~(p-2q)=2 \\ \sf p^2-4q^2=4 \end{cases}$

$\sf \begin{cases} \sf log_{2}~(p+2q)-log_{3}~(p-2q)=2 \\ \sf p^2-(2q)^2=4 \end{cases}$

$\sf \begin{cases} \sf log_{2}~(p+2q)-log_{3}~(p-2q)=2 \\ \sf (p+2q)\cdot(p-2q)=4 \end{cases}$

Sejam:

• $\sf p+2q=x$

• $\sf p-2q=y$

Assim:

$\sf \begin{cases} \sf log_{2}~x-log_{3}~y=2 \\ \sf x\cdot y=4 \end{cases}$

Da segunda equação:

$\sf x\cdot y=4$

$\sf x=\dfrac{4}{y}$

Substituindo na primeira equação:

$\sf log_{2}~x-log_{3}~y=2$

$\sf log_{2}~\Big(\dfrac{4}{y}\Big)-log_{3}~y=2$

$\sf log_{2}~4-log_{2}~y-\dfrac{log_{2}~y}{log_{2}~3}=2$

$\sf 2-log_{2}~y-\dfrac{log_{2}~y}{log_{2}~3}=2$

$\sf -log_{2}~y-\dfrac{log_{2}~y}{log_{2}~3}=2-2$

$\sf -log_{2}~y-\dfrac{log_{2}~y}{log_{2}~3}=0$

$\sf log_{2}~y+\dfrac{log_{2}~y}{log_{2}~3}=0$

$\sf log_{2}~3\cdot log_{2}~y+log_{2}~y=0$

$\sf log_{2}~y\cdot(log_{2}~3+1)=0$

$\sf log_{2}~y=\dfrac{0}{log_{2}~3+1}$

$\sf log_{2}~y=0$

$\sf y=2^0$

$\sf \red{y=1}$

Desse modo:

$\sf x=\dfrac{4}{y}$

$\sf x=\dfrac{4}{1}$

$\sf \red{x=4}$

Assim:

• $\sf p+2q=x~\Rightarrow~p+2q=4$

• $\sf p-2q=y~\Rightarrow~p-2q=1$

Podemos montar o sistema:

$\sf \begin{cases} \sf p+2q=4 \\ \sf p-2q=1 \end{cases}$

Somando as equações:

$\sf p+p+2q-2q=4+1$

$\sf 2p=5$

$\sf \red{p=\dfrac{5}{2}}$

Substituindo na primeira equação:

$\sf p+2q=4$

$\sf \dfrac{5}{2}+2q=4$

$\sf 5+2\cdot2q=2\cdot4$

$\sf 5+4q=8$

$\sf 4q=8-5$

$\sf 4q=3$

$\sf \red{q=\dfrac{3}{4}}$

Logo:

$\sf p+q=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}$

$\sf p+q=\dfrac{10+3}{4}$

$\sf \red{p+q=\dfrac{13}{4}}$

Letra D