Question

(ITA) Os catetos B e C de um triângulo retângulo de altura H(relativa à hipotenusa) são dados pelas seguintes expressões:

$\boxed{b =\sqrt{k + \dfrac{1}{k} }} \ \text{e} \ \boxed{c=\sqrt{k - \dfrac{1}{k} } }$

Onde k é um número real maior que 1. Calcule o valor de h em função de k.

Answer 1

a altura relativa de um triângulo retângulo é um altura que forma 90° com a hipotenusa do triangulo retângulo. B e C são os catetos do triângulo retângulo maior, H a altura relativa então só nos falta a hipotenusa do triângulo. chamando ela de A e calculando por teorema de Pitágoras

A²=B²+C²
A²=(√k+1/k)²+(√k-1/k)²
A²=k+1/k+k-1/k
A²=2k
A=√2k

pela relação métrica de um triângulo retângulo

A.H=B.C
√2k.H=(√k+1/k)(√k-1/k)
H=√(k+1/k)(√k-1/k)/(√2k)

elevando ao quadrado por motivos de simplificação

H²=(k+1/k)(k-1/k)/2k
H²=k²-1/k²/2k
voltando a raiz

H=√k²-1/k²/√2k

$\boxed{ \mathsf{h = \frac{ \sqrt {k^{2} - \frac{1}{ {k}^{2}} } }{ \sqrt{2k} }}}$

Answer 2

Resposta:

h={√[(2k^4-2)/k]}/2k

Explicação passo-a-passo:

Em qualquer triângulo retângulo vale a relação a²=b²+c², onde a é hipotenusa  b e c são catetos.

então é fácil perceber que a² = (k+ 1/k) +(k - 1/k)

a² = 2k

a = √(2k)

Em qualquer triângulo retângulo o produto dos catetos é igual ao produto da altura pela hipotenusa, ou seja, bc = ah

√(k+1/k).√(k-1/k)=h√(2k)

√(k²-1/k²)=h√(2k)

k=[√(k²-1/k²)]/√(2k), tem que racionalizar

h=[√(k²-1/k²)]√(2k)/√(2k)√(2k)

h=[√(2k³-2k/k²)]/√(4k²)

h=[√(2k³-2/k)]/2k

h={√[(2k^4-2)/k]}/2k