Question

ITA) Considere uma Progressão Geométrica, onde o primeiro termo é a, a > 1, a razão é  q,  q> 1, e o produto dos seus termos é c. se ,  e  , quantos termos tem esta Progressão geométrica ?

 

a) 12    b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

me ajudem por favorr

Answer 1

Dados da questão:
primeiro termo = $a$
razão = $q > 1$
produto dos termos = $c$
$log_ab = 4$
$log_qb=2$
$log_cb = 0,01$

A fórmula do produto Pn dos "n" primeiros termos de uma PG é:
$(Pn)^2 = (a_1 . a_n)^n$

onde $a_1$ é o 1º termo e $a_n$ é o enésimo termo.

Então de c temos:
$c^2 = (a_1 . a_n)^n\\\\c^2 = (a . a_n)^n$

O termo geral da PG é $a_n = a_1 . q^n$, que no nosso caso pode ser escrito:
$a_n = a.q^{n-1}$

E daí, substituindo An na fórmula de $c^2$:
$c^2 = (a . a_n)^n\\\\c^2 = (a . a . q^n)^n\\\\c^2 = (a^2 . q^{n-1})^n$

O $log_ab = 4$  temos que: $a^4 = b$

O $log_qb = 2$  temos que: $q^2 = b$

Concluimos que $a^4 = q^2 ~~=>~~ a^2 = q$ (lembre que q > 1)

Substituindo na fórmula de $c^2$:

$c^2 = (a^2 . q^{n-1})^n\\\\c^2 = [a^2 . (a^2)^{n-1}]^n$

$c^2 = (a^2 . a^{2n-2})^n\\\\c^2 = (a^{2n-2+2})^n\\\\c^2 = (a^{2n})^n\\\\c^2 = a^{2n^{2}}$

Acharemos o $c$ pelo $log_cb = 0,01$ ⇒  $c^{0,01} = b$

Sabemos que $b = a^4$ então:
$c^{0,01} = a^4$, elevando tudo a 100,  $c = a^{400}$

Substituindo na fórmula de $c^2$:
$c^2 = a^{2n^2}$
$(a^{400})^2 = a^{2n^2}$
$a^{800} = a^{2n^2}$

Então, para isso ser verdadeiro, teremos que ter obrigatoriamente:

$800 = 2n^2\\\\ \frac{800}{2} = n^2\\\\400 = n^2\\\\\boxed{n = 20}$

Ficou bem grande, mas é desse jeito mesmo. ;)