Question

(ITA)- a soma dos 5 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão r é 50 e a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita de razão q é 12. Se ambas as progressões tiverem o mesmo termo inicial menor que 10 e sabendo-se que q=r^2, podemos afirmar que a soma dos quatro primeiros termos da progressão geométrica será:
Resultado : 765/64
Nao consigo termina-la :/

Answer 1

Informações da Questão:

Obs: quando eu colocar o número depois da letra é porquê é a numeração do termo.
g = termo da progressão geométrica
q = razão da progressão geométrica
a = termo da progressão aritmética
r = razão da da progressão aritmética

a1=g1>10 (considere 9)
q=12
q=r²
a1+a2+a3+a4+a5=50
12=g1/1-q

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Progressão Geométrica:

S∞=g1/1-q --> Substituindo o "g1" pelo "a1", "S∞" por  12 e "q" pelo "r²" temos:
12=a1/1-r²
a1=12(1-r²)
a1=12-12r²

-----------------------------------
Progressão Aritmética:

Obs: lembrando que "a2=a1+r" e assim por diante, então temos:

a1+a2+a3+a4+a5=50
(12-12r²)+(12-12r²+r)+(12-12r²+r+r)+(12-12r²+r+r+r)+(12-12r²+r+r+r+r)=50
12.5-12r².5+10r=50
60-60r²+10r-50=0
-60r²+10r+10=0 :2 (Simplificando)
-6r²+1r+1=0

Δ=1²-4.(-6).1
Δ=1+24
Δ=25

r'=-1+√25/2.(-6)=-1+5/-12=4/-12=2/-6=-1/3 (não convém)
r''=-1-√25/2.(-6)=-1-5/-12=-6/-12=1/2

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Conclusões:

q=r²
q=(1/2)²
q=1/4

Logo:

Obs: lembrando que no início da questão eu considerei "q1=9"

q1+q2+q3+q4+q5=x
9+(9.r)+(9.r²)+(9+r³)=x
9+9.(1/4)+9.(1/4)²+9.(1/4)³
9+9/4+9/16+9/64

MMC: 64

(576+144+36+9)/64
(720+45)/64
765/64

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