Question

(ITA - 2011) O circuito ideal da figura,
inicialmente aberto, o capa -
citor de capacitância CX en -
contra-se carregado e armazena
uma energia poten cial
elétrica E. O capacitor de
capacitância CY = 2CX está inicialmente descarregado.
Após fechar o circuito e este alcançar um novo equilíbrio,
pode-se afirmar que a soma das energias armazenadas nos
capacitores é igual a:

a) 0. 
b) E /9. 
c) E/3.
d) 4E/9. 
e) E

Gab: C

Minha dúvida é a seguinte, por que o resistor não entrou no cálculo, ele não dissipa certa parcela da energia que foi armazenada ?

Answer 1

Só para desencargo, postarei de modo completo.

$\mathsf{C \ = \ \dfrac{Q}{V} \ \rightarrow}$

$\mathsf{\bullet \ C \ \rightarrow \ Capacit\^ancia;}$
$\mathsf{\circ \ Q \ \rightarrow \ Carga \ armazenada \ no \ capacitor;}$
$\mathsf{\bullet \ V \ \rightarrow \ Tens\~ao \ no \ capacitor.}$

$\mathsf{E \ = \ \dfrac{Q^2}{2 \ \cdot \ C} \ \rightarrow}$

$\mathsf{\circ \ E \ \rightarrow \ Energia \ potencial \ eletrost\'atica \ armazenada \ no \ capacitor.}$

A energia potencial inicial no capacitor $\mathsf{C_x}$ é $\mathsf{E}$, sendo $\mathsf{Q}$ a carga armazenada e $\mathsf{C_x}$ a sua capacitância... logo :

$\boxed{\mathsf{E \ = \ \dfrac{Q^2}{2 \ \cdot \ C_1}}}$

Depois de ligado no circuito, $\mathsf{C_x}$ vai carregar $\mathsf{C_y}$ até que as suas tensões se igualem (quando se estabelece o regime estacionário), ou seja, $\mathsf{C_x}$ "servirá de fonte" para $\mathsf{C_y}$.

A $\mathsf{DDP}$ entre eles colocará para circular a carga $\mathsf{Q}$ de pouco em pouco, até que as suas tensões se igualem ($\mathsf{DDP \ = \ 0 \ \rightarrow}$ regime estacionário.) 

O resistor não entra no cálculo porque ele apenas dissipará parte da energia $\mathsf{E}$ inicial, ou seja, ele apenas desacelera os elétrons, mas não interfere na quantidade carga $\mathsf{Q}$ do sistema, só nas sua cinética (transformando parte em calor). A carga $\mathsf{Q}$ se conserva.

No regime estacionário, como dito, as tensões se igualam :

$\mathsf{V_x \ = \ V_y \ \rightarrow \\} \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{Q_x}{C_x} \ = \ \dfrac{Q_y}{\underbrace{\mathsf{C_y}}_{2 \ \cdot \ C_x}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{Q_x \ = \ \dfrac{Q_y}{2}}}$

A carga inicial $\mathsf{Q}$ se divide inteiramente em $\mathsf{Q_x}$ e $\mathsf{Q_y}$:

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{Q_x}}_{\frac{Q_y}{2}} \ + \ Q_y \ = \ Q \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{Q_x \ = \ \dfrac{Q}{3}; \ Q_y \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ Q}{3}}}$

Logo, as energias armazenadas em cada capacitor são :

$\mathsf{E_x \ = \ \dfrac{\big(\frac{Q}{3}\big)^2}{2 \ \cdot \ C_x} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{E_x \ = \ \dfrac{1}{9} \ \cdot \ \underbrace{\mathsf{\dfrac{Q^2}{2 \ \cdot \ C_x}}}_{E} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{E_x \ = \ \dfrac{E}{9}}}$

$\mathsf{E_y \ = \ \dfrac{\big(\frac{2 \ \cdot \ Q}{3}\big)^2}{2 \ \cdot \ \underbrace{\mathsf{2 \ \cdot \ C_x}}_{C_y}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{E_y \ = \ \dfrac{2}{9} \ \cdot \ \underbrace{\mathsf{\dfrac{Q^2}{2 \ \cdot \ C_x}}}_{E} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{E_y \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ E}{9}}}$

Por fim, a soma das energias armazenadas é :

$\mathsf{E_x \ + \ E_y \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{E}{9} \ + \ \dfrac{2 \ \cdot \ E}{9} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{E}{3}}}}$

O que significa que o resistor dissipou $\mathsf{\dfrac{2 \ \cdot \ E}{3}.}$