Question

Interpretando derivadas!
Considerando a proposição e o teorema, serão propostos duas atividades que poderão ser resolvidas e posteriormente postados as respostas nessa tarefa/lição!

Proposição 10.3:

Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b).

i) Se f ’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f e crescente em [a, b];

ii) Se f ’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f e decrescente em [a, b].



Teorema 10.1 (Teste da derivada primeira). Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b], que possui derivada em todo ponto do intervalo aberto (a, b), exceto possivelmente num ponto c.

i) Se f ’(x) > 0 para todo x < c e f ’(x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo relativo em c.

ii) Se f ’(x) < 0 para todo x < c e f ’ (x) > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo relativo em c.


Verifique o crescimento ( Crescente ou Decrescente ) das funções no intervalo de [0,2] de acordo com a proposição 10.3.

a) f (x) = ln(2x +3 )

b) f (x) = e ^(-x) o símbolo ^ equivale a elevar ao expoente

c) f (x) = 4 - (x^2)

d) f ( x) = (x^3) + 1

Observação esse formato escrito das funções pode ser usado no Winplot para plotar os gráficos. porém indico usar o programa somente após responder as perguntas!

Answer 1

Resposta:

A) crescente

B) decrescente

C) decrescente

D) crescente

Explicação:

Ta, isso pode ser resolvido em três partes:

1- achar a derivada

2- ver qual vai ser a derivada em [0,2]

3- ver se isso é positivo ou não.

Obs: as derivadas eu vou fazer dee cabeça pq essas funções são fáceis de derivar. Vou focar no passo a passo geral da resolução.

A) f'(x) = 2/(2x+3)

Ok, se olhando para isso, se x for 0 vai ficar 2/3 e se for 2 vai ficar 2/7. No geral o intervalo todo tem uma derivada positiva, logo a função é crescente.

B) f'(x) = -e^(-x)

Se o x for 0, vai ficar - 1, se o x for 2 vai ficar -(1/e²), que também é um número negativo.No geral o intervalo todo tem uma derivada negativa, logo a função é decrescente.

C) f'(x) = -2x

Se o x for 0, vai ficar 0, se o x for 2 vai ficar -4, que também é um número negativo. No geral o intervalo todo (que vai de 0 a - 4) tem uma derivada negativa, logo a função é decrescente.

D) f'(x) = 3x²

Vai de 0 a 12, então é um intervalo positivo, então é crescente.

Amém.