Question

Interpolar dois números entre 2 e 9 de modo que os três primeiros formem uma P.A. e os três
últimos uma P.G .

Answer 1

Vamos colocar entre 2 e 9 os números $a$ e $b$.

Dessa forma teremos uma sequência $(2, a, b, 9)$

Sabemos que $(2, a, b)$ formam uma PA, logo...
$a = \frac{b+2}{2}$ ou ainda $b = 2a - 2....(I)$

Além disso teremos a sequência $(a, b, 9)$ formando uma PG, dessa forma...
$b = \sqrt{9a}$ ou ainda $b^2=9a....(II)$

Substituindo a relação (I) na relação (II)...
$(2a-2)^2=9a$
$4a^2-8a+4-9a=0$
$4a^2-17a+4 = 0$
$a=4 ou a=\frac{1}{4}$

Dessa forma teríamos:
$b=6 ou b = \frac{-3}{2}$