Question

Interpolando-se seis meios geométricos entre 20 000 e 1/500, determine:
a) a razão da P.G. obtida;
b) o 4º termo da P.G.;

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para interpolar seis meios geométricos entrre 20.000 e 1/500. Depois pede-se para determinar (a) a razão da PG obtida; e (b) o 4º termo dessa PG.

Bem, veja que se vamos interpolar 6 meios geométricos entre 20.000 e 1/500, então vamos ter uma PG de 8 termos, pois já há os dois extremos (o 1º termo, que é 20.000 e o último termo, que é 1/500, e ainda vamos interpolar mais 6. Logo: 2+6 = 8 termos).
Se já sabemos que a PG vai ter 8 termos, e já conhecemos o primeiro termo (a₁ = 20.000) e o último termo (an = 1/500), então vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PG, que é dado assim:

an = a₁*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima, "an" é o último termo, que substituiremos por "1/500". Por sua vez "a₁" é o primeiro termo, que substituiremos por "20.000". E, finalmente "n" é o número de termos, que substituiremos por "8", pois já sabemos que a PG terá 8 termos. E, por fim, "q" é a razão, que é o que vamos encontrar. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

1/500 = 20.000*q⁸⁻¹
1/500 = 20.000*q⁷ ---- vamos inverter, ficando:
20.000q⁷ = 1/500 ---- isolando q⁷, ficaremos com:
q⁷ = 1/500*20.000
q⁷ = 1/10.000.000 ---- isolando "q", ficaremos com:
q = ⁷√(1/10.000.000) ---- veja que isto é a mesma coisa que:
q = ⁷√(1) / ⁷√(10.000.000) ---- note que 10.000.000 = 10⁷. Assim:
q = ⁷√(1) / ⁷√(10⁷)

Agora veja isto: ⁷√(1) = 1, pois raiz e-nésima de "1" sempre é igual a "1". E, no denominador, como temos ⁷√(10⁷) , então o "7", por estar elevado à 7ª potência, sai de dentro da raiz índice 7. Logo, ficaremos apenas com:

q = 1/10  <--- Esta é a razão da PG.

Agora note: como já temos que a razão (q) é igual a 1/10, então vamos encontrar os 6 termos que serão obtidos com a interpolação deles entre 20.000 e 1/500. Assim, basta que, a partir do 1º termo (a₁ = 20.000) irmos multiplicando pela razão (q = 1/10) para obtermos os demais termos.
Assim teremos:

a₁ = 20.000
a₂ = 20.000*1/10 = 20.000/10 = 2.000
a₃ = 2.000*1/10 = 2.000/10 = 200
a₄ = 200*1/10 = 200/10 = 20
a₅ = 20*1/10 = 20/10 = 2
a₆ = 2*1/10 = 2/10 = 1/5 (após simplificarmos tudo por "2")
a₇ = (1/5)*(1/10) = 1*1/5*10 = 1/50
a₈ = (1/50)(1/10) = 1*1/10*50 = 1/500.

Assim a PG obtida, com todos os seus 8 termos, é esta, cujos termos interpolados estão indicados por uma seta::

(20.000; 2.000; 200; 20; 2; 1/5; 1/50; 1/500)
. . . . . . . . . .↑ . . . . ↑ . . .↑ . .↑. . ↑. . . ↑ . . . . . .

Agora vamos responder ao que está sendo pedido, que é isto:

a) Qual a razão da PG obtida?
Veja, como já vimos antes, temos que a razão (q) da PG é igual a:

q = 1/10 <--- Esta é a resposta para o item "a'.

b) Qual o 4º termo da PG obtida?
Veja: verificando pela PG que acabamos de obter, temos que o 4º termo (a₄) é igual a:

a₄  = 20 <--- Esta é a resposta para o item "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Bom dia Sininho

PG

u1 = 20000
u8 = u1*q^7 = 1/500 

20000*q^7 = 1/500 

q^7 = 10000000
q = 1/10

a) a razão da PG é q = 1/10 

b) o 4° termo, u4 = u1*q^3 = 20000*(1/10)^3 = 20