Question

Integral tripla
10pontos!!!

Answer 1

Es conveniente utilizar las coordenadas esféricas

                    $x=r\cos \theta \sin \phi\\ y=r\sin \theta \sin \phi\\ z=r\cos \phi$

sin olvidarnos del valor absoluto del jacobiano

            $J(r,\theta,\phi)=\left| \det\left(\begin{matrix} x_r&x_\theta&x_\phi\\ y_r&y_\theta&y_\phi\\ z_r&z_\theta&z_\phi \end{matrix}\right) \right|=r^2|\sin \phi|$

donde la nueva región de integración es

$E=\{(r,\theta,\phi): 0\ \textless \ r\leq 2\,,\, 0\ \textless \ \theta\leq 2\pi\,,\, -\pi/2\ \textless \ \phi\ \textless \ \pi/2\}$

Entonces
                           $\displaystyle I=\iiint\limits_Re^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dx\,dy\,dz\\ \\ \\ I=\iiint\limits_Ee^{r^3}\cdot r^2|\sin \phi|\,dr\,d\theta\,d\phi\\ \\ \\ I=\int_{0}^2\int_{0}^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{r^3}\cdot r^2|\sin \phi|\,d\phi\,d\theta\,dr\\ \\ \\ I=2\pi\int_{0}^2e^{r^3}\cdot r^2\,dr\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin \phi|\,d\phi\\ \\ \\ I=\dfrac{2\pi}{3}(e^8-1)\cdot \int_{0}^{\pi}\sin \phi\,d\phi\\ \\ \\ \boxed{I=\dfrac{4\pi}{3}(e^8-1)}$

Answer 2

Resposta:

Es conveniente utilizar las coordenadas esféricas

                   

sin olvidarnos del valor absoluto del jacobiano

           

donde la nueva región de integración es

Entonces

                          

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Explicação passo-a-passo: