Question

Integral raiz quadrada
√x^2+4 dx

Answer 1

Queremos encontrar o valor da seguinte integral:

$\displaystyle \rm I=\int \sqrt{x^2+4} ~dx$

A solução desta integral é dada pelo método da substituição trigonométrica, a substituição trigonométrica consiste na substituição de certas expressões através do uso de funções trigonométricas. No cálculo, a substituição trigonométrica é uma técnica para avaliar integrais, uma vez que as identidades trigonométricas podem ser usadas para simplificar certas integrais que contêm expressões radicais.

Para começar, vamos relembrar o teorema de Pitágoras, o teorema de Pitágoras é uma premissa matemática que nos permite calcular o comprimento dos lados de um triângulo retângulo, que são cateto oposto (CO), cateto adjacente (CA) e hipotenusa (H). Esses três lados podem ser calculados por estas três fórmulas:

$\begin{cases}\bf H=\sqrt{CO^2+CA^2}\\\\ \bf CO=\sqrt{H^2-CA^2}\\\\ \bf CA=\sqrt{H^2-CO^2}\end{cases}$

Observe que o integrando se parece com a mesma expressão que nos permite calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo de acordo com Pitágoras, então as medidas dos três lados do nosso triângulo retângulo são iguais a:

$\setlength{\unitlength}{0.60cm}\begin{picture}(6,5)(0,0)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){7}}\put(7,0){\line(0,1){5.2}}\put(0,0){\line(4,3){7}}\qbezier(0.7,0.5)(1,0.5)(1,0)\put(0.5,0.1){ \sf\Theta }\put(6.6,0){\line(0,1){0.4}}\put(6.6,0.4){\line(1,0){0.4}}\put(6.8,0.2){\circle*{0.1}}\put(3,-0.8){\large \sf 2 }\\\put(7.2,2.3){\large \sf x }\put(1,3){\large \sf \sqrt{x^2+4} }\end{picture}$

$\begin{gathered}\Large\red{\boxed{\begin{array}{rcl}&\red{\underline{\footnotesize\sf Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly.}}&\\&\green{\footnotesize\sf \bullet~Experimente~compartilhar\rightarrow copiar~e~acessar}&\\&\green{\footnotesize\sf o~link~copiado~pelo~seu~navegador~ou~Browser.}&\\\end{array}}}\end{gathered}$

De acordo com nosso triângulo retângulo, o que fazemos é simplificar nossa integral usando funções trigonométricas fundamentais em um triângulo retângulo, o que vamos fazer é mudar a integral em relação à variável x para uma integral em relação à variável θ. As identidades trigonométricas de um triângulo retângulo são:

$\begin{cases}\bf Sen ~\Theta=\dfrac{CO}{H}\\\\ \bf Cos~\Theta=\dfrac{CA}{H}\\\\ \bf Tan~\Theta =\dfrac{CO}{CA}\\\\ \bf Cot~\Theta=\dfrac{CA}{CO}\\\\\ \bf Sec~\Theta=\dfrac{H}{CA}\\\\ \bf Csc~\Theta=\dfrac{H}{CO}\end{cases}$

Existem duas funções trigonométricas que se destacam para a solução do nosso problema, essas funções trigonométricas que vão se destacar para a solução da nossa integral é a secante e a tangente já que com a ajuda da secante podemos substituir a expressão com a raiz para uma função trigonométrica mais simples e com a tangente podemos encontrar uma expressão equivalente a x e podemos derivar para encontrar uma expressão equivalente a dx mas em relação ao ângulo θ.

$Sec~\Theta =\dfrac{\sqrt{x^2+4}}{2}~\to~2 Sec~\Theta=\sqrt{x^2+4}\\\\ Tan~\Theta=\dfrac{x}{2}~\to~2 Tan~\Theta =x\\\\ 2 Sec^2~\Theta=\dfrac{dx}{d\Theta}~\to~ 2 Sec^2~\Theta~d\Theta=dx$

Substituindo o valor de cada variável em nossa expressão, obtemos a seguinte integral que é muito mais simples do que resolver a integral original:

$\displaystyle\rm I=\int 2 Sec~\Theta \cdot 2 Sec^2~\theta ~d\Theta\\\\\\\displaystyle\rm I=\int 4Sec^3~\Theta ~d\Theta\\\\\\ \displaystyle\rm I= 4\int Sec^3~\Theta~d\Theta$

Veja a solução desta integral no link a seguir: brainly.com.br/tarefa/51143921

$\displaystyle \rm I= 4\left(\dfrac{1}{2}\cdot Sec~\Theta\cdot Tan~\Theta +\dfrac{1}{2}\cdot ln\left|Sec~\Theta+Tan~\Theta\right|\right) +C\\\\\\ \displaystyle\rm I= \left(2Sec~\Theta\cdot Tan~\Theta + 2 ln\left|Sec~\Theta+Tan~\Theta\right| \right)+C$

Fazendo a substituição:

$\displaystyle\rm I= \left(\not 2\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+4}}{\not 2}\cdot \dfrac{x}{2} + 2 \cdot ln\left|\dfrac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\dfrac{x}{2}\right|\right) +C\\\\\\\displaystyle\rm I= \dfrac{x\sqrt{x^2+4}}{2} + 2\cdot ln\left|\dfrac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right| +C\\\\\\ \boxed{\bf I= \dfrac{1}{2}\cdot{x\sqrt{x^2+4}}+ 2\cdot ln\left|\dfrac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right| +C,~com~C\in\mathbb{R}}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta}$