Question

Integral por Substituição Trigonométrica:
em anexo
preciso do desenvolvimento e que feche com a resposta

Answer 1

Passo 1) Substituição de variável

$u = x^{2} - 1$
$du = 2x dx$

$\int\limits {2x sen^{4}(u) } \, du / 2x$

$\int\limits {sen^{4}(u) } \, du$

Passo 2) Identidades trigonométricas

Sendo:

$(cos x)^{2} + (senx)^{2} = 1$
$cos (2x) = (cosx)^{2} - (senx)^{2}$

Então

$(senx)^{2} = \frac{1 - cos2x}{2}$

Substituindo na integral:

$\int\limits {( \frac{1-cos(2u)}{2} )^2 } \, du$

Resolvendo:

$\int\limits {( \frac{1-2cos(2u)+ (cos(2u))^{2} }{4} ) } \, du$

Passo 3) Identidades trigonométricas (de novo)

$(cos 2x)^{2} + (sen 2x)^{2} = 1$
$cos (4x) = (cos 2x)^{2} - (sen 2x)^{2}$

Substituindo:

$\int\limits {( \frac{1-2cos(2u)}{4} + \frac{1+cos(4u)}{8} ) } \, du$

Então:

$\int\limits {( \frac{3-4cos(2u)+cos(4u)}{8} ) } \, du$

Passo 4) Integrando

$\int\limits {( \frac{3-4cos(2u)+cos(4u)}{8} ) } \, du = \frac{3u}{8} - \frac{4sen(2u)}{16} + \frac{sen(4u)}{32} + C$

Passo 5) Voltando a variável x

Como $u = x^{2} -1$

Então 

$\int\limits {( \frac{3-4cos(2u)+cos(4u)}{8} ) } \, du = \frac{3(x^2-1)}{8} - \frac{4sen(2(x^2-1))}{16} + \frac{sen(4(x^2-1)}{32} + C$