Question

Integral
Pfv Me explique essa:

Answer 1

$\int\limits { \frac{1}{1+x^2}+x^2 } \, dx= \boxed{ \int\limitsb { \frac{1}{1+x^2} } \,. dx + \int\limits {x^2} \, .dx}$

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para resolver a primeira integral temos que resolver ela por substituição trigonométrica

vc tem que memorizar estes casos..
$1\to\boxed{\sqrt{k^2-x^2} \to x=k*sen(\theta)}\\\\\\\\ 2\to\boxed{\sqrt{k^2+x^2} \to x=k*tg(\theta)}\\\\\\\\\ 3\to\boxed{\sqrt{x^2-k^2} \to x=k*sen(\theta)}$

k = uma constante qualquer

do lado direito estão as substituições que vc vai ter que fazer para cada caso
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voltando ao problema temos
$\frac{1}{1+x^2}$

e isso se encaixa no segundo caso 
k² = 1
k = √1 = 1

então temos
$x=k*tg(\theta)\\\\ x=*1*tg(\theta)\\\\\ \boxed{x=tg(\theta)}$

derivando o x..nós achamos o dx
$dx=sec^2(\theta)$
(essa é a derivada de x)
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 voltando a integral

$\int\limitsb { \frac{1}{1+x^2} } \,. dx=\boxed{ \int\limitsb { \frac{dx.d\theta}{1+x^2} } }$

substituindo dx por sec²(Ф)
e substituindo x tg(Ф)
$\frac{sec^2(\theta)}{1+(tg(\theta))^2}\\\\ = \frac{sec^2(\theta)}{1+tg^2(\theta)}$

mas na tabela de identidade trigonométrica que vc deve ter rs...
$1+tg^2(\theta)=sec^2(\theta)$

então temos
$\int\limits { \frac{sec^2(\theta)}{sec^2(\theta)} } \, d\theta=\boxed{ \int\limits {d\theta}=[\theta+C]}$

agora temos que saber quem é Ф..

vimos que 
$x=tg(\theta)$
então
$arctg(x)=\theta$

a derivada da primeira integral fica
$[arctg (x)+c]$
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agora derivando a segunda integral
$\int\limits {x^2} \, dx =[ \frac{x^{2+1}}{2+1} ]=\boxed{ \frac{x^3}{3} }$
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resposta

$\int\limits { \frac{1}{1+x^2}+x^2 } \, dx=\boxed{arctg(x)+ \frac{x^3}{3} }$
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mas se vc lembrar que a derivada de $arctg(x) = \frac{1}{1+x^2}$
seria mt menos trabalho kk