Question

Integral indefinida, passo a passo:

$\int\limits { \frac{x^{5}+ 2x^{2}-1}{ x^{2}} } \, dx$

Obrigada

Answer 1

Boa tarde Joyce!

Esse exercício é bem mais simples que o primeiro, pois temos uma integral com uma divisão,de funções e sendo a função  do denominador incomum a todos os termos da função do numerador.

$\int\limits \dfrac{x^5+2x^2-1}{x^2} \, dx$

Reescrevendo a integral.

$\int\limits \dfrac{x^5}{x^2}+ \dfrac{2x^2}{x^2}- \dfrac{1}{x^2} \, dx$

Lembre-se de quando temos um variável com expoente dividindo que passamos ela multiplicando o expoente fica negativo.

$\int\limits (x^5. x^{-2}) + 2(x^2. x^{-2}) - (1. x^{-2})dx$

$\int\limits (x^3 + 2 - x^{-2})dx$

Agora é só integrar.

$\int\limits \dfrac{x^{3+1}}{3+1} = \dfrac{x^{4} }{4}+c$

$\int (2)dx=2x+c$

$\int x^{-2}=\int \dfrac{ x^{-2+1} }{2-1} dx= \dfrac{ x^{-1} }{-1}+c$

Como temos um expoente negativo vamos coloca-lo no denominador para torna-lo positivo.

$\int\limits \dfrac{x^5+2x^2-1}{x^2} \, dx=\dfrac{x^{4} }{4} +2x-\dfrac{ x^{-1} }{-1}+c$

Finalmente fazendo isso chegamos ao final do exercício.

$\int\limits \dfrac{x^5+2x^2-1}{x^2} \, dx=\dfrac{x^{4} }{4} +2x+ \dfrac{1}{x}+c$

Boa tarde!
Bons estudos!