Question

Integral Dupla de (x^3y^2-x^2y^2) (-1,1) x (0,2)

Answer 1

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Calcular a integral dupla da função

     $\mathsf{f(x,\,y)=x^3y^2-x^2y^2}\\\\ \mathsf{f(x,\,y)=(x^3-x^2)\cdot y^2}$


sendo a região de integração o retângulo aberto

     $\mathsf{R=\left]-1,\,1\right[\times\left]0,\,2\right[}$


A região foi descrita em forma de produto cartesiano. O retângulo dado pode ser representado assim:

     $\mathsf{R=\left\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~~-1<x<1~~e~~0<y<2\right\}}$


Como se trata de um retângulo, os extremos de integração são constantes. Portanto, para montar a integral iterada, a ordem de integração é irrelevante:

     •   $\mathsf{-1<x<1;}$
     •   $\mathsf{0<y<2.}$


Escrevendo as integrais iteradas na ordem  dy dx:

     $\mathsf{\displaystyle\iint_R f(x,\,y)\,dA}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_{-1}^1\int_0^2 (x^3-x^2)\cdot y^2\,dy\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_{-1}^1(x^3-x^2)\int_0^2 y^2\,dy\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_{-1}^1(x^3-x^2)\cdot \left.\frac{y^3}{3}\right|_{y=0}^{y=2}\,dx}$

     $=\mathsf{\displaystyle\int_{-1}^1(x^3-x^2)\cdot \left(\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_{-1}^1(x^3-x^2)\cdot \frac{8}{3}\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\frac{8}{3}\int_{-1}^1(x^3-x^2)\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{8}{3}\cdot \left.\left(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3} \right )\right|_{x=-1}^{x=1}}$ 

     $=\mathsf{\dfrac{8}{3}\cdot \left[\left(\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{1^3}{3} \right )-\left(\dfrac{(-1)^4}{4}-\dfrac{(-1)^3}{3} \right ) \right ]}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{8}{3}\cdot \left[\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3} \right )-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{(-1)}{3} \right ) \right ]}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{8}{3}\cdot \left[\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3} \right )-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3} \right ) \right ]}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{8}{3}\cdot \left[\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right]}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{8}{3}\cdot \left[-\dfrac{2}{3}\right]}$ 

     $=\mathsf{-\,\dfrac{16}{9}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)