Question

integral do loga (x) dx, com x>0 e 0<a e diferente de 1. Como resolver essa?

Answer 1

∫logₐˣ dx = uv - ∫vdu

logₐˣ = u => 1/x.logₐe.dx = du

dx = dv =>∫dx =∫dv => x = v

∫logₐˣ dx = logₐx . x - ∫x.1/x.logₐe.dx

∫logₐx dx = xlogₐx - logₐe∫dx

∫logₐx dx = xlogₐx - logₐe.x + C

∫logₐx dx = x(logₐx - logₐe) + C

Seja y = logₐx
Mudando de base: $y= \frac{lnx}{lna} =\ \textgreater \ y = \frac{1}{lna} .lnx=\ \textgreater \ y'= \frac{1}{lna} . \frac{1}{x}$

Expressando essa derivada em função do log original.

lna = logₐa/logₐe = 1/logₐe

Logo, y' = 1/(1: logₐe) . 1/x => y' = logₐe . 1/x => y' = 1/x . logₐe