Question

Integral de [x/squrt (x+4)]dx

Answer 1

✅ Por meio do método da substituição simples de variável, obtemos $\textstyle\rm F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{(x+4)^3} - 8\sqrt{x+4} + \mathbb{C}$ como a primitiva mais geral para a função dada no enunciado.

 

☁️ Teorema fundamental do cálculo para integrais indefinidas: Seja $\rm f$ uma função contínua, então:

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\qquad \int f(x) \,dx = F(x) ~\Leftrightarrow~ F^{\prime}(x) = f(x) \qquad}}}$

Isto é, a primitiva ou integral indefinida é exatamente a operação oposta a derivada.

 

ℹ️ Para essa resolução, teremos que ter em mente um artifício de adicionar algo a mais, nesse nosso caso será uma nova variável, vejamos.

 

☁️ Método da substituição de variáveis: Com esse método, podemos substituir uma função secundária que compõe a função principal de modo que ao diferencia-la encontremos outra função que possui relação com a principal, pois assim poderemos encontrar integrais imediatas.

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\qquad \int f \left( g(x) \right)g^{\prime}(x) \,dx = \int f(a)\,da \quad \forall \: a = g(x) \qquad}}}$

 

✍️ Solução:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm note\!: a = x+4 \Rightarrow da = (x+4)^{\prime}\,dx  \: \therefore  da = dx\\\\ \begin{aligned}\displaystyle\large\rm \underbrace{\displaystyle\rm\int \frac{x}{\sqrt{x+4}}\,dx}_{\rm a = x+4 \,\Rightarrow \,x = a -4 } &=\displaystyle\rm \int \dfrac{a-4}{\sqrt{a}}\,da \\\\&=\displaystyle\rm \int \dfrac{a}{\sqrt{a}} - \dfrac{4}{\sqrt{a}}\,da \\\\&=\displaystyle\rm \int \dfrac{a}{\sqrt{a}} \red{\cdot \frac{\sqrt a}{\sqrt a}} - \dfrac{4}{\sqrt{a}}\,da \\\\&=\displaystyle\rm \int \frac{a\sqrt{a}}{a} - \dfrac{4}{\sqrt{a}}\,da \\\\&=\displaystyle\rm \int \sqrt{a} - \dfrac{4}{\sqrt{a}}\,da \\\\&=\displaystyle\rm \int \sqrt{a}\,da - 4\int\dfrac{1}{\sqrt{a}}\,da \\\\&=\displaystyle\rm \dfrac{2}{3} \sqrt{a^3} - 4 \cdot 2\sqrt{a} \\\\&=\displaystyle\rm \dfrac{2}{3} \sqrt{a^3} - 8\sqrt{a} \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\: \int \dfrac{x}{\sqrt{x+4}}\,dx = \dfrac{2}{3} \sqrt{(x+4)^3} - 8\sqrt{x+4}  + \mathbb{C} }}}}\\\quad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\end{array}$

 

⌛ Essa é a primitiva mais geral para a função dada!

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre integrais indefinidas:

• brainly.com.br/tarefa/51159034
• brainly.com.br/tarefa/48478843

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$