Question

integral de x^3/√x^2+9 dx​

Answer 1

Resposta:  $\displaystyle\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+9}}\,dx=\frac{(\sqrt{x^2+9})^3}{3}-9\sqrt{x^2+9}+C.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral indefinida

     $\displaystyle\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+9}}\,dx\\\\\\ =\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}\cdot x\,dx$

Some e subtraia 9 ao numerador:

     $\displaystyle =\int\frac{(x^2+9)-9}{\sqrt{x^2+9}}\cdot x\,dx$

Faça a seguinte substituição:

     $\sqrt{x^2+9}=u\\\\ \Longrightarrow\quad x^2+9=u^2\\\\ \Longrightarrow\quad \diagup\!\!\!\! 2x\,dx=\diagup\!\!\!\! 2u\,du\\\\\ \Longrightarrow\quad x\,dx=u\,du$

Substituindo, a integral fica

     $\displaystyle =\int\frac{u^2-9}{\diagup\!\!\!\! u}\cdot \diagup\!\!\!\! u\,du\\\\\\ =\int (u^2-9)\,du$

Aplicamos a regra para primitivas das potências de u:

     $=\dfrac{u^{2+1}}{2+1}-9u+C\\\\\\ =\dfrac{u^3}{3}-9u+C$

Substitua de volta para a variável x:

     $=\dfrac{(\sqrt{x^2+9})^3}{3}-9\sqrt{x^2+9}+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Obs.: Esta integral também pode ser resolvida via substituição trigonométrica, fazendo

    $x=3\,\mathrm{tg\,}t\quad\Longrightarrow\quad dx=3\sec^2 t\,dt$

com $-\,\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}$

de onde obtemos

    $x^2+9=(3\,\mathrm{tg\,}t)^2+9\\\\ =9\,\mathrm{tg^2\,}t+9\\\\ =9(\mathrm{tg^2\,}t+1)\\\\ =9\sec^2 t$

Ao substituir na integral, a raiz quadrada irá desaparecer, e no final obterá o mesmo resultado:

     $\displaystyle\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+9}}\,dx\\\\\\ =\int\frac{(3\,\mathrm{tg\,}t)^3}{\sqrt{9\sec^2 t}}\cdot 3\sec^2 t\,dt\\\\\\ =\int\frac{27\,\mathrm{tg^3\,}t}{3\sec t}\cdot 3\sec^2 t\,dt\\\\\\ =\int 27\,\mathrm{tg^3\,}t\cdot \sec t\,dt\\\\\\ =27\int \mathrm{tg^2\,}t\cdot \mathrm{tg\,}t\sec t\,dt\\\\\\ =27\int (\sec^2 t-1)\cdot \mathrm{tg\,}t\,\sec t\,dt$

Faça agora a substituição:

     $v=\sec t\quad\Longrightarrow\quad dv=\mathrm{tg\,}t\,\sec t\,dt$

e a integral fica

     $\displaystyle =27\int (v^2-1)\,dv\\\\\\\ =27\left(\frac{v^3}{3}-v\right)+C\\\\\\ =27\left(\frac{\sec^3 t}{3}-\sec t\right)+C$

Substitua de volta $\sec t=\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{3},$ e finalmente obtemos

     $=27\left(\dfrac{(\frac{\sqrt{x^2+9}}{3})^3}{3}-\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{3}\right)+C\\\\\\ =27\left(\dfrac{~\frac{(\sqrt{x^2+9})^3~}{27}}{3}-\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{3}\right)+C\\\\\\ =\dfrac{(\sqrt{x^2+9})^3}{3}-9\sqrt{x^2+9}+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Desejamos resolver a seguinte integral:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+9} } dx\end{gathered} }$

Para resolver a sua questão, irei utilizar o método da substituição trigonométrica. Para isso, temos como auxilio o seguinte triângulo retângulo:

            $\setlength{\unitlength}{0.60cm}\begin{picture}(6,5)(0,0)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){7}}\put(7,0){\line(0,1){5.2}}\put(0,0){\line(4,3){7}}\qbezier(0.7,0.5)(1,0.5)(1,0)\put(0.5,0.1){ \theta }\put(6.6,0){\line(0,1){0.4}}\put(6.6,0.4){\line(1,0){0.4}}\put(6.8,0.2){\circle*{0.1}}\put(3,-0.8){\Large \sf a }\\\put(7.2,2.3){\Large \sf x }\put(1,3){\Large \sf \sqrt{x^2+a^2} }\end{picture}$

  $\Large\red{\boxed{\begin{array}{rcl}&\red{\underline{\footnotesize\sf Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly.}}&\\&\green{\footnotesize\sf \bullet~Experimente~compartilhar\rightarrow copiar~e~acessar}&\\&\green{\footnotesize\sf o~link~copiado~pelo~seu~navegador~ou~Browser.}&\\\end{array}}}$

• Agora, perceba que:

  $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \tan (\theta)=\frac{Cateto\ oposto}{Cateto \ adjacente}=\frac{x}{3} \end{gathered}$

E simplifiicando, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt x= 3\tan(\theta)\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt dx= 3(\tan(\theta))'\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt dx= 3\sec^2(\theta)d\theta\end{gathered}$

Com isso, surge que a integral dada é igual a:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int \frac{3^3\tan^3(\theta)}{\sqrt{3^2\tan^2(\theta)+9} } \cdot 3\sec^2(\theta)d\theta\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int \frac{81\tan^3(\theta)\cdot \sec^2(\theta)}{\sqrt{9\tan^2(\theta)+9} } d\theta\end{gathered} }$

Colocando o 9 em evidência, ficamos da seguinte forma:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int \frac{81\tan^3(\theta)\cdot \sec^2(\theta)}{\sqrt{9(\tan^2(\theta)+1)} } d\theta\end{gathered} }$

E pela identidade $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbf{\sec^2(\theta)= \tan^2(\theta)+1}\end{gathered}$, temos que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int \frac{81\tan^3(\theta)\cdot \sec^2(\theta)}{3\sqrt{\sec^2(\theta)} } d\theta\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \frac{81}{3} \int \frac{\tan^3(\theta)\cdot \sec^{\not{2}}(\theta)}{\not{\sec(\theta)} } d\theta\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt 27\int \tan^3(\theta)\cdot \sec(\theta) d\theta\end{gathered}$

Agora, vamos resolver essa integral de forma isolada, pois ela não é imediata. Para resolvela , vamo utilizar a seguinte relação trigonométrica: $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbf{\sec^2(\theta)= \tan^2(\theta)+1}\end{gathered}$, ficando então:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \left(\sec^2(\theta)-1\right)\cdot \tan(\theta)\cdot \sec(\theta) d\theta\end{gathered}$

Fazendo uma pequena substituição $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbf{ u=\sec(\theta)}\end{gathered}$ e $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbf{ du=\sec(\theta)\tan(\theta)d\theta}\end{gathered}$, temos:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int u^2-1du\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int u^2du-\int du\end{gathered}$

E pela propriedade de integração do monômio, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{u^3}{3}-u\implies \frac{\sec^3(\theta)}{3} -\sec(\theta)\end{gathered}$

Portanto, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt 27\int \tan^3(\theta)\cdot \sec(\theta) d\theta=27\left(\frac{\sec^3(\theta)}{3}-\sec(\theta)\right)+C \end{gathered}$

Mas perceba que queremos a resposta em função de x, e para isso iremos utilizar novamente o triângulo retângulo. E para isso, vale ressaltar que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \sec(\theta)=\frac{hipotenusa}{Cateto \ adjacente} =\frac{\sqrt{x^2+9} }{3} \end{gathered} }$

Substituindo por fim, temos que o valor final da integral dada é igual a:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+9} } dx= \frac{\sqrt{(x^2+9)^3} }{3} -9\sqrt{x^2+9}+C \end{gathered} }$

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/15146187