Question

Integral de $\int\limits e^{x} cosx \, dx$
Minha dúvida é no final desta integral.
Porque 2 virou $\frac{1}{2}$ ?

Veja o exemplo
2$\int\limitsex e^{x}cos(x) \, dx = e^xsen(x) + e^{x} cos(x)$
ficou
$\int\limits e^x cos(x) \, dx = \frac{1}{2} e^x sex(x) + e^x cos(X)$

Answer 1

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⠀⠀☞ Como desejamos encontrar somente a integral cíclica ∫eˣcos(x)dx então no último passo de nossas manipulações algébricas iremos dividir ambos os lados da igualdade por dois para que somente a integral que procuramos permaneça isolada em um dos lados da igualdade. ✅

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✋ No enunciado está faltando um parênteses na última linha, pois o 1/2 está multiplicando tanto o eˣsen(x) como também o eˣcos(x).

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⚡ " -O que é uma integral cíclica?"

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⠀⠀É a integral de uma função que após uma ou mais etapas de integração por partes encontramos novamente a integral inicial que procuramos, o que nos permite por uma manipulação algébrica somá-las e dividir ambos os lados da igualdade por dois.

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⚡ " -O que é uma manipulação algébrica?"

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⠀⠀Chamamos de manipulação algébrica o conjunto de operações conjuntas que realizamos simultaneamente em ambos os lados de uma igualdade com algum propósito em mente: lembre-se, uma igualdade é como uma balança em equilíbrio, tudo que fazemos em um lado da balança devemos fazer da exata forma do outro.

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$\large\blue{\sf 2 \cdot \displaystyle\int\sf e^xcos(x)dx = e^x \cdot (sen(x) + cos(x))}$

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$\large\blue{\text{ \sf \dfrac{\diagup\!\!\!\!{2} \cdot \displaystyle\int\sf e^xcos(x)dx}{\diagup\!\!\!\!{2}} = \dfrac{e^x \cdot (sen(x) + cos(x))}{2} }}$

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$\large\blue{\sf \displaystyle\int\sf e^xcos(x)dx = \dfrac{e^x}{2} \cdot (sen(x) + cos(x))}$ ✅    

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:

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✈ Manipulação Algébrica (brainly.com.br/tarefa/37266101)

✈ Integral cíclica (https://brainly.com.br/tarefa/38634914)

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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