Question

Integral de
$\frac{cos(2x)}{2sen(x)cos(x)} dx$

Resposta:
$\frac{1}{2} ln |sen(2x)| + c$
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Answer 1

Olá,

Temos a integral:

$\tt \int \frac{ \cos(2x) }{2 \: sen(x) \cos(x) } dx$

Vamos relembrar que:

$\tt \: sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)$

Fazendo:

$\tt \: x = a = b$

Assim:

$\tt \: sen(x + x) = sen(x)cos(x) + sen(x)cos(x) \\ \tt \: sen(2x) = 2 \: sen(x)cos(x)$

Observe que é exatamente isso que temos na integral. Fazendo está substituição:

$\tt \int \frac{ \cos(2x) }{2 \: sen(x) \cos(x) } dx = \tt \int \frac{ \cos(2x) }{sen(2x) } dx$

Vamos resolver a integral acima por substituição:

$\tt \: u = sen(2x) \: \to \: du = 2 \: cos(2x) \: dx \\ \tt \: dx = \frac{du}{2 \: cos(2x)}$

Temos:

$\tt \int \frac{ \cos(2x) }{2 \: sen(x) \cos(x) } dx = \int \frac{cos(2x)}{u} \frac{du}{2 \: cos(2x)} \\ \tt \int \frac{ \cos(2x) }{2 \: sen(x) \cos(x) } dx = \int \frac{ \cancel{cos(2x)}}{u} \frac{du}{2 \: \cancel{cos(2x)} } \\ \tt \int \frac{ \cos(2x) }{2 \: sen(x) \cos(x) } dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}$

Lembrando que:

$\tt \int \frac{ du }{u} = ln |u| + c$

Desta forma:

$\tt \int \frac{ \cos(2x) }{2 \: sen(x) \cos(x) } dx = \frac{1}{2} ln |u| + c$

Substituindo o $\tt \: u = sen(2x)$

Temos:

$\boxed{\tt \int \frac{ \cos(2x) }{2 \: sen(x) \cos(x) } dx = \frac{1}{2} ln |sen(2x)| + c}$