Question

integral de (sen³x+cos³x . tgx) dx

Answer 1

Acompanhe:

$\displaystyle \int \sin^3 x + \cos^3 x \tan x \, \, dx \\ \\ \\ \int \sin^3 x + \cos^3 x \, \frac{\sin x}{\cos x} \, \, dx \\ \\ \\ \int \sin^3 x + \cos^2 x \sin x \, \, dx \\ \\ \\ \int \sin^2 \sin x \, \, dx + \int \cos^2 x \sin x \, \, dx$

Temos a primeira integral:

$\displaystyle \int \sin^2 \sin x \, \, dx \\ \\ \\ \int (1-\cos^2 x) \sin x \, \, dx \\ \\ \\ u = \cos x \\ \\ du = -\sin x \, \, dx \\ \\ \\ - \int (1-u^2) \, \, du \\ \\ \\ \frac{1}{3}u^3-u \\ \\ \\ \frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x$

A segunda:

$\displaystyle \int \cos^2 x \sin x \, \, dx \\ \\ \\ u = \cos x \\ \\ du = -\sin x \, \, dx \\ \\ \\ - \int u^2 \, \, du \\ \\ \\ - \frac{1}{3}u^3 \\ \\ \\ - \frac{1}{3} \cos^3 x$

Daí temos:

$\displaystyle \int \sin^3 x + \cos^3 x \tan x = \\ \\ \\ \frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x - \frac{1}{3} \cos^3 x = \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ -\cos x + c }}$

Dê uma revisada em identidades trigonométricas, pois nós usamos elas para determinar integrais desse tipo.