Question

integral de 15sen^5 (x)dx

Answer 1

Calcular a integral indefinida:

     $\displaystyle\int 15\,\mathrm{sen^5\,}x\,dx$


Reescrevendo o integrando de forma conveniente:

     $\displaystyle=\int 15\,\mathrm{sen^4\,}x\cdot \mathrm{sen\,}x\,dx\\\\\\ =-15\int \mathrm{sen^4\,}x\cdot (-\,\mathrm{sen\,}x)\,dx\\\\\\ =-15\int (\mathrm{sen^2\,}x)^2\cdot (-\,\mathrm{sen\,}x)\,dx$


Mas  sen² x = 1 − cos² x:

     $\displaystyle=-15\int (1-\cos^2 x)^2\cdot (-\,\mathrm{sen\,}x)\,dx$


Faça a seguinte substituição:

     $\cos\,x=u\quad\Rightarrow\quad -\,\mathrm{sen\,}x\,dx=du$


e a integral fica

     $\displaystyle=-15\int (1-u^2)^2\,du$


Expanda o quadrado da diferença (produtos notáveis):

     $\displaystyle=-15\int (1-2u^2+u^4)\,du\\\\\\ =-15\cdot \left(u-2\cdot \frac{u^{2+1}}{2+1}+\frac{u^{4+1}}{4+1}\right)+C\\\\\\ =-15\cdot \left(u-\frac{2u^3}{3}+\frac{u^5}{5}\right)+C\\\\\\ -15u+\frac{30u^3}{3}-\frac{15u^5}{5}+C\\\\\\ =-15u+10u^3-3u^5+C$

     $=-15\cos x+10\cos^3 x-3\cos^5 x+C$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)