Question

Integral de -1/1+e^x dx peço ajuda

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da integral Indefinida

Dada a integral :

$\sf{ I~=~ } \displaystyle\int \sf{ - \dfrac{1}{1 + e^x}dx }$

Para facilitar o cálculo da integral vamos usar o método da substituição simples.

Seja: $\sf{ 1 + e^x = u ~\Longrightarrow e^x~=~ u - 1 }$

Pela definição dos logarítmos :

$\sf{ ln(b) = c \Longrightarrow e^c=b }$ então podemos ter :

$\iff \sf{x = ln(u - 1) }$ Vamos achar a diferencial de x e u :

$\boxed{ \sf{ dx~=~ \dfrac{1}{u - 1}*(u - 1)'du = \dfrac{1}{u - 1}du } }$

Então já têm-se todos os elementos para a substituição :

$\iff \sf{I~=~ } -\displaystyle\int \sf{ \dfrac{1}{u} *\dfrac{du}{( u - 1)} }$

$\iff \sf{I~=~ } - \displaystyle\int \sf{ \dfrac{du}{u(u - 1)}}$

Então para solucionar está nova integral vamos recorrer ao método de fracções parciais. Então :

$\sf{ \dfrac{1}{u(u - 1)}~=~ \dfrac{A}{u} + \dfrac{B}{u - 1} }$

$\sf{ \dfrac{1}{u(u - 1)}~=~ \dfrac{ A(u - 1) + B*u }{u(u-1)} }$

$\sf{ \dfrac{\red{1}}{u(u - 1)}~=~ \dfrac{ (A + B)u \red{-A} }{ u(u - 1) } }$

Então pela igualdade de polinómios ter-se-á :

$\begin{cases} \sf{ A + B = 0 } \\ \\ \sf{ -A = 1 } \end{cases} \to \begin{cases}\sf{ B~=~- A} \\ \\ \sf{ A~=~ -1 }\end{cases}$

$\begin{cases} \sf{ B~=~ 1 } \\ \\ \sf{ A~=~ -1} \end{cases}$

Reescrevendo a integral :

$\sf{ I~=~ } -\Big( -\displaystyle\int \sf{ \dfrac{du}{u} + } \displaystyle\int \sf{ \dfrac{du}{u - 1} } \Big)$

$\sf{I~=~ -\Big( -\ln|u| + \ln| u - 1 | \Big) }$ Lembrando que: $\sf{ u ~=~1 + e^x }$ Logo :

$\sf{ I~=~ \ln| 1 + e^x | - \ln| 1 + e^x - 1| }$

$\color{blue}{\boxed{ \green{ \boxed{ \sf{ I~=~ \ln\Big| \dfrac{1 + e^x}{ e^x} \Big| + k, ~com~k\in\mathbb{R} } } } } } \color{blue}{\checkmark}\green{\checkmark} \sf{\longleftarrow Resposta}$

Espero ter ajudado bastante!)