Question

integral da função potência de seno com expoente par
resolver a seguinte integral:
int sen^6xdx ?

Answer 1

Temos o seguinte:

$\int {sin^6(x)} \, dx$

Podemos reescrever como:

$\int {sin^2(x) \cdot sin^2(x) \cdot sin^2(x)} \, dx$

Utilizando as seguintes identidades trigonométricas:

$\left \{ {{sin^2(x) + cos^2(x)=1} \atop {cos^2(x) - sin^2(x)=cos(2x)}} \right. \\ \\ 1 - sin^2(x) = cos(2x) + sin^2(x) \\ \\ 1 - cos(2x) = 2 \cdot sin^2(x) \\ \\ sin^2(x) = \frac{1- cos(2x)}{2}$

Temos:

$\int {\left(\frac{1- cos(2x)}{2} \right ) \cdot \left (\frac{1- cos(2x)}{2} \right ) \cdot \left (\frac{1- cos(2x)}{2} \right )} \, dx \\ \\ \frac{1}{8} \int {(1 - 2 \cdot cos(2x) + cos^2(2x)) \cdot (1 - cos(2x))} \, dx \\ \\ \frac{1}{8} \int {(1-cos(2x) - 2 \cdot cos(2x) + 2 \cdot cos^2(2x) + cos^2(2x) - cos^3(2x))} \, dx \\ \\ \frac{1}{8} \int {(1 - 3 \cdot cos(2x) + 3 \cdot cos^2(2x) - cos^3(2x))} \, dx$

$u = 2x \therefore du = 2 \, dx \\ \\ \frac{1}{8} \int {(1 - 3 \cdot cos(u) + 3 \cdot cos^2(u) - cos^3(u))} \, \frac{du}{2} \\ \\ \frac{1}{16} ( \int {1} \, du - 3 \int {cos(u)} \, du + 3 \int {cos^2(u)} \, du - \int {cos^3(u)} \, du)$

Agora, resolveremos cada integral individualmente. Temos a primeira integral:

$\int {1} \, du = u$

Temos a segunda integral:

$\int {cos(u)} \, du = sin(u)$

Temos a terceira integral:

$\int {cos^2(u)} \, du \\ \\ \left \{ {{sin^2(u) + cos^2(u)=1} \atop {cos^2(u) - sin^2(u)=cos(2u)}} \right. \\ \\ 2 \cdot cos^2(u) = 1 + cos(2u) \therefore cos^2(u) = \frac{1+cos(2u)}{2} \\ \\ \int {\frac{1+cos(2u)}{2}} \, du = \frac{1}{2} \int {1 + cos(2u)} \, du = \frac{1}{2}( \int {1} \, du +\int{cos(2u)} \, du )$

$\int {1} \, du = u \\ \\ \int {cos(2u)} \, du \\ \\ k = 2u \therefore dk = 2 \, du \\ \\ \int {cos(k)} \, \frac{dk}{2} = \frac{1}{2} \int {cos(w)} \, dw = \frac{sin(w)}{2} = \frac{sin(2u)}{2} \\ \\ \frac{1}{2}( \int {1} \, du + \int{cos(2u)} \, du ) = \frac{1}{2}( u+ \frac{sin(2u)}{2}) = \frac{u}{2} + \frac{sin(2u)}{4}$

Temos a quarta integral:

$\int {cos^3(u)} \, du \\ \\ \int {cos^2(u) \cdot cos(u)} \, du\\ \\ \left \{ {{sin^2(u) + cos^2(u)=1} } \right. \therefore cos^2(u) = 1 - sin^2(u) \\ \\ \int{(1 - sin^2(u)) \cdot cos(u)} \, du \\ \\ w = sin(u) \therefore dw = cos(u) \, du \\ \\ \int {(1 - w^2) cos(u)} \, \frac{dw}{cos(u)} = \int {1 - w^2} \, dw = w - \frac{w^3}{3} = sin(u) - \frac{sin^3(u)}{3}$

Logo temos:

$\frac{1}{16} ( \int {1} \, du - 3 \int {cos(u)} \, du + 3 \int {cos^2(u)} \, du - \int {cos^3(u)} \, du) \\ \\ \frac{1}{16} ( u - 3\cdot sin(u) + 3 \cdot (\frac{u}{2} + \frac{sin(2u)}{4}) - (sin(u) - \frac{sin^3(u)}{3})) \\ \\ \frac{1}{16} ( u - 3 \cdot sin(u) + \frac{3 \cdot u}{2} + \frac{3 \cdot sin(2u)}{4} - sin(u) + \frac{sin^3(u)}{3}) \\ \\ \frac{1}{16}( \frac{5 \cdot u}{2} -4 \cdot sin(u) + \frac{3 \cdot sin(2u)}{4} + \frac{sin^3(u)}{3})$

Como $u=2x$, temos:

$\frac{1}{16}( \frac{5 \cdot 2x}{2} -4 \cdot sin(2x) + \frac{3 \cdot sin(2 \cdot 2x)}{4} + \frac{sin^3(2x)}{3}) \\ \\ \frac{1}{16}( 5x-4 \cdot sin(2x) + \frac{3 \cdot sin(4x)}{4} + \frac{sin^3(2x)}{3}) \\ \\ \frac{5x}{16} - \frac{sin(2x)}{4} + \frac{3 \cdot sin(4x)}{64} + \frac{sin^3(2x)}{48}$

Portanto:

$\int {sin^6(x)} \, dx = \frac{5x}{16} - \frac{sin(2x)}{4} + \frac{3 \cdot sin(4x)}{64} + \frac{sin^3(2x)}{48} + C$