Question

[INTEGRAL] Calcule a integral definida:

Answer 1

Resposta:

Área 1 : parte superior do gráfico

Se x-2>=0 ==> x>=2

-[de 0 até 2∫ x-2  dx ]    

=de 2 até 4 [x²/2-2x]  = 4²/2 -2*4-2²/2 +2*2=8-8-2+4=2

Área 2: parte inferior do gráfico

Se x-2 <0  ==> x<2

=de -4  até 2 ∫ -(x-2) dx

=de -4 até 2 [ -x²/2+2x] = -2²/2 +2*2  -[-(-4)²/2 +2*(-4) ]

= -2+4 +8 +8=18

Área 1 + Área 2 = 2 +18 = 20 unid. área

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

$\mathsf{\displaystyle \int_{-4}^{4}|x-2| dx = \displaystyle \int_{-4}^{2}|x-2| dx \ + \displaystyle \int_{2}^{4} |x - 2| dx}$

$\textsf{Mas, se }\mathsf{x > 2 \Rightarrow |x - 2| = x-2} \textsf{ , se } \mathsf{x < 2 \Rightarrow |x - 2| = -x + 2}\textsf{ e se x = 2 } \mathsf{\Rightarrow}\\\mathsf{|x - 2| = 0.}$

$\textsf{Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:}$

$\mathsf{\displaystyle \int _{-4}^2 |x-2| dx = \displaystyle \int_{-4}^2 (-x + 2) \ dx= -\displaystyle \int _{-4}^2 x \ dx + 2\displaystyle \int_{-4}^21 \ dx =} \\ \mathsf{ \Bigg(-\dfrac{x^2}{2} + 2x\Bigg)\Bigg|_{-4}^2 = \Bigg(-\dfrac{2^2}{2} + 2\cdot 2\Bigg) - \Bigg(-\dfrac{(-4)^2}{2}+(-4) \cdot 2\Bigg)}\\\mathsf{ = 2 - (-16) = 18}$

$\mathsf{\displaystyle\int_{2}^{4}|x-2|dx =\displaystyle \int _2^4 (x- 2) \ dx = \displaystyle \int_2^4x \ dx -2\displaystyle \int_2^4 1 \ dx = \Bigg( \frac{x^2}{2} - 2x \Bigg)\Bigg|_2^4 = }\\\mathsf{\Bigg (\dfrac{4^2}{2} - 2\cdot4 \Bigg) - \Bigg ( \dfrac{2^2}{2} -2\cdot 2 \Bigg) = 0 - (-2) = 2}$

$\textsf{Portanto:}$

$\mathsf{\displaystyle \int_{-4}^{4}|x-2| dx = \displaystyle \int_{-4}^{2}|x-2| dx \ + \displaystyle \int_{2}^{4} |x - 2| dx = 2 + 18 = 20}$