Question

Integral:

Calcule a área da região compreendida pelas curvas y = 2x e y = x²

Answer 1

Faça os gráficos de y = x² e de y = 2x
Cálculo dos pontos de interseção:
x² = 2x => x² - 2x = 0 => x(x - 2) = 0

x = 0 ou x - 2 = 0 => x =2

0(zero)  é o limite inferior e 2 é o limite superior.( Nada a ver com função limite)
Nesse intervalo y = 2x é maior que y = x², então, ao integrar devemos fazer
2x - x²
 $\int\limits^0_2 {(2x-x^2)} \, dx =2. \frac{x^2}{2}- \frac{1}{3}x^3 \left]\begin{array}{ccc}2\\0\\\end{array}\right=2. \frac{2^2}{2} - \frac{1}{3} .2^3-(2. \frac{0^2}{3} - \frac{1}{3}.0^3)= \\ \\ 4- \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3}= \frac{4}{3}$

Answer 2

$\textrm{Pontos de intersec\c{c}\~ao:}\\\\ \mathrm{x^2=2x\ \to\ x^2-2x=0\ \to\ x(x-2)=0}\\ \mathrm{x_1=0 \ \ \| \ \ x_2-2=0\ \to\ x_2=2}\ \ \| \ \ x^2\cap x=\{0,2\}\\\\ \text{Calculando\ a\ \'area entre as fun\c{c}\~oes:}\\\\ \mathrm{\int\limits_0^2 2x-x^2\ dx=2\int\limits_0^2x\ dx-\int\limits_0^2x^2\ dx}\\\\ \mathrm{2.\cfrac{x^2}{2}-\cfrac{x^3}{3}=x^2-\cfrac{x^3}{3}=\bigg(\cfrac{3x^2-x^3}{3}\bigg)\mid_0^2}\\\\ \mathrm{\int\limits_0^22x-x^2\ dx=\cfrac{3.2^2-2^3}{3}-0=\cfrac{12-8}{3}=\cfrac{4}{3}\ u.a.}$