Question

Integral (1/3 e^3x+ sen3x) dx​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{e^{3x}}{9}-\dfrac{\cos(3x)}{3}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos calcular a seguinte integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{3}\cdot e^{3x}+\sin(3x)\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto da constante e a integral da função: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral da função exponencial é a própria função exponencial.
• A integral da função seno é o oposto da função cosseno.

Então, aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{3}\cdot e^{3x}\,dx+\int\sin(3x)\,dx$

Aplique a propriedade da constante

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int \cdot e^{3x}\,dx+\int\sin(3x)\,dx$

Em ambas as integrais, fazemos a substituição $u=3x$. Diferenciamos ambos os lados em relação a $x$ para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(3x)'$

$\dfrac{du}{dx}=3$

Isole $dx$

$dx=\dfrac{du}{3}$

Substituindo estes dados nas integrais, temos

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int e^u\cdot\dfrac{du}{3}+\int \sin(u)\cdot\dfrac{du}{3}$

Aplique a propriedade da constante

$\displaystyle{\dfrac{1}{9}\cdot\int e^u\,du+\dfrac{1}{3}\cdot\int \sin(u)\,du$

Calcule as integrais

$\displaystyle{\dfrac{1}{9}\cdot (e^u+C_1)+\dfrac{1}{3}\cdot(-\cos(u)+C_2)$

Desfaça as substituições e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\dfrac{e^{3x}}{9}+\dfrac{C_1}{9}-\dfrac{\cos(3x)}{3}+\dfrac{C_2}{3}$

Fazendo $\dfrac{C_1}{9}+\dfrac{C_2}{3}=C$, temos

$\displaystyle{\dfrac{e^{3x}}{9}-\dfrac{\cos(3x)}{3}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.