Question

Integrais- dúvida simples

Alguém, por favor faça essa integral passo a passo, eu sei o resultado, mas não sei como chegar nele.
$\int\ {\frac{1}{x^2+4} } \, dx$

Answer 1

Temos que

$\displaystyle\int\ {\frac{1}{x^2+4} } dx = \displaystyle\int\ {\frac{1}{4( \frac{ {x}^{2} }{4} +1)} } dx \\ = \frac{1}{4} \displaystyle\int\ {\frac{1}{( \frac{ {x}^{2} }{4} +1)} } dx$

Agora, chamamos de

$u = \dfrac{ {x}}{2} = > du = \dfrac{1}{2} dx$

Ou seja,

$\dfrac{1}{4} \displaystyle\int 2 \ {\frac{1}{( {u}^{2} +1)} } du = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int \ {\frac{1}{( {u}^{2} +1)} } du \\ = \frac{1}{2} arctg(u) = \frac{1}{2} arctg( \frac{x}{2} )$

Portanto,

$\displaystyle\int \ {\frac{1}{ {x}^{2} +4} } dx = \frac{1}{2} arctg( \frac{x}{2} )$