Question

integra de (3x^2-2x)/(x^3-x^2+1)

Answer 1

Inicialmente, vamos calcular a integral indefinida:

$\displaystyle I=\int\dfrac{3x^2-2x}{x^3-x^2+1}\,dx$

Note que o numerador da fração presente no integrando é igual à derivada da expressão do denominador. Portanto, podemos fazer apenas a seguinte substituição:

$u=x^3-x^2+1\to du=(3x^2-2x)\,dx$

Usando na integral:

$\displaystyle I=\int\dfrac{3x^2-2x}{x^3-x^2+1}\,dx\\\\ I=\int\dfrac{du}{u}\\\\ I=\ln|u|+C$

Voltando à variável x:

$I=\ln|u|+C\\\\ I=\ln|x^3-x^2+1|+C\\\\ \boxed{\int\dfrac{3x^2-2x}{x^3-x^2+1}\,dx=\ln|x^3-x^2+1|+C}$

Calculada a integral indefinida, podemos calcular a integral dada:

$\displaystyle I_2=\int_0^1\dfrac{3x^2-2x}{x^3-x^2+1}\,dx\\\\ I_2=[\ln|x^3-x^2+1|]_0^1\\\\ I_2=[\ln|1^3-1^2+1|-\ln|0^3-0^2+1|]\\\\ I_2=[\ln|1-1+1|-\ln|0-0+1|]\\\\ I_2=[\ln|1|-\ln|1|]\\\\ I_2=0\\\\ \boxed{\boxed{\int_0^1\dfrac{3x^2-2x}{x^3-x^2+1}\,dx=0}}$