Question

\int\limits^2_0 {x(x-3)} \, dx
Alguém pode me ajudar com essa integral definida?

Answer 1

Temos o seguinte:

$\int\limits^2_0 {x(x-3)} \, dx$

Podemos reescrever como:

$\int\limits^2_0 {x^2 - 3x} \, dx$

Calculando sua derivada indefinida:

$\int {x^2 - 3x} \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}$

Aplicando os limites da integral, temos:

$\int\limits^2_0 {x(x-3)} \, dx = \left ( \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} \right ) \limits^2_0 \\ \\ \\ \left ( \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} \right ) \limits^2_0 = \left ( \dfrac{2^3}{3} - \dfrac{3\cdot 2^2}{2} \right ) - \left ( \dfrac{0^3}{3} - \dfrac{3\cdot 0^2}{2} \right ) = \left ( \dfrac{2^3}{3} - \dfrac{3\cdot 2^2}{2} \right ) \\ \\ \\ \left ( \dfrac{2^3}{3} - \dfrac{3\cdot 2^2}{2} \right ) = \dfrac{8}{3} - 6 = = \boxed{-\frac{10}{3} }$

Resultou em negativo pois a função está abaixo do eixo x nos limites da integral, caso queira o valor da área, basta fazer módulo do resultado.