Question

(Insper-SP) Na figura, AD é um diâmetro da circunferência que contém o lado BC do quadrado sombreado, cujos vértices E e F pertencem à circunferência.

Se a é a medida do segmento AB e l é a medida do lado do quadrado, então $\dfrac{l}{a}$ é igual a


a) $\sqrt{5}-2$


b) $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$


c) $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$


d) $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$


e) $\sqrt{5}+2$

Answer 1

A medida l/a é igual a (√5 + 1)/2.

Sendo O o centro da circunferência, podemos formar um triângulo retângulo BOE, onde a base BO mede l/2, a altura BE mede l e hipotenusa (OE) mede a + l/2. utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:

(a + l/2)² = (l/2)² + l²

a² + 2a(l/2) + l²/4 = l²/4 + l²

l² - a.l - a² = 0

Sendo uma equação do segundo grau em l, temos, temos que os coeficientes são a = 1, b = -a e c = -a², pela fórmula de Bhaskara:

l = [-(-a) ± √(-a)² - 4.1.(-a²)]/2.1

l = [a ± √(5a²]/2

l = (a ± a√5)/2 = a(1 + √5)/2

Calculando a razão l/a, temos:

l/a = [a(1 + √5)/2]/a

l/a = (1 + √5)/2

Resposta: C