Question

Inequação exponencial
$3^{2x}-3^{x+1}>3^x-3$

Answer 1

i) Façamos, inicialmente, uma mudança de variável. Chamemos $3^x=y$ e tomemos cuidado com as propriedades das potências. Temos, então:

$3^{2x}=(3^x)^2\Rightarrow 3^{2x}=y^2$

$3^{x+1}=3^x.3^1\Rightarrow 3^{x+1}=3y$

Substituindo todos esses valores na inequação teremos:

$3^{2x}-3^{x+1}>3^x-3\Rightarrow y^2-3y>y-3\Rightarrow y^2-4y+3>0 \\ \\ \mathrm{Fatorando \ encontramos} \\ \\ \boxed{(y-3)(y-1)>0}$

ii) Precisamos, agora, apenas analisar o sinal do primeiro membro da inequação. Pode-se usar o método que quiser pra isso, mas eu prefiro analisar o sinal quando y=0 e ver quando o primeiro membro é positivo ou negativo.

Uma função do segundo grau com duas raízes sempre mudará de sinal ao passar por uma raiz, isso que dizer que se uma função do segundo grau tiver duas raízes ela será positiva-negativa-positiva ou negativa-positiva-negativa.
Fazendo y=0 vemos que (y-3)(y-1)>0 e como 0 está à esquerda de 1 temos que o primeiro membro será pos-neg-pos. (Se isso ficou confuso olha a imagem em anexo pra esclarecer)

Portanto teremos que:

$y<1 \ \mathrm{ou} \ y>3$

Voltando pra variável x:

$3^x<1 \ \mathrm{ou} \ 3^x>3$

iii) Como a base dessa potência, $3^x$, é maior que 1 temos que a desigualdade não se altera ao usar logaritmo. Daí:

$3^x<1 \Rightarrow x<\log_31 \Rightarrow x<0\\ \\ 3^x>3\Rightarrow x>\log_33\Rightarrow x>1$

Expressando, agora, na forma de conjunto temos, então, que:

$\boxed{\boxed{S=\{ x\in\mathbb{R}|x<0 \ \mathrm{ou} x>1\}}}$