Question

inequacao exponencial
$(0.3) {}^x{} { }^ - {} {}^5{} \leqslant (0.09) {}^2{} {}^x{} { }^ + {} {}^3{} \leqslant (0.3) {}^x{} { }^ + {} {}^6{}$​

Answer 1

Temos que:

$\sf (0.3) {}^x{} { }^ - {} {}^5{} \leqslant (0.09) {}^2{} {}^x{} { }^ + {} {}^3{} \leqslant (0.3) {}^x{} { }^ + {} {}^6{}$

Para resolver essa inequação, devemos lembrar das restrições em relação a base (A).

$\sf \bullet A > 1 : \: \: \begin{cases}\sf A {}^{x} > A {}^{y} \Longrightarrow x > y \end{cases}$

• Essa restrição deve ser usada quando a base for maior que "1", ela nos diz que quando a condição é cumprida o sinal da inequação permanece.

$\sf \bullet 0 < A < 1 : \: \begin{cases} \sf A {}^{x} >A {}^{y} \Longrightarrow x < y\end{cases}$

• Esta é o oposto da outra, pois diz que quando a base está entre 0 e 1 o sinal da inequação deve mudar.

Como podemos notar pelas restrições, as bases da nossa inequação estão entre 0 e 1, logo devemos mudar os sinais.

$\sf (0.3) {}^x{} { }^ - {} {}^5{} \geqslant (0.09) {}^2{} {}^x{} { }^ + {} {}^3{} \geqslant (0.3) {}^x{} { }^ + {} {}^6{}$

Agora é só resolver normalmente:

$\sf (0.3) {}^x{} { }^ - {} {}^5{} \geqslant (0.09) {}^2{} {}^x{} { }^ + {} {}^3{} \geqslant (0.3) {}^x{} { }^ + {} {}^6{} \\ \\ \sf \left(3 {}^{ - 1} \right) {}^{x - 5} \geqslant (9 {}^{ - 2} ) {}^{2x + 3} \geqslant (3 {}^{ - 1} ) {}^{ x+ 6} \\ \\ \sf 3 {}^{- 1(x - 5)} \geqslant 9 {}^{ - 2(2x + 3)} \geqslant 3 {}^{ - 1(x + 6)} \\ \\ \sf {3}^{ - x + 5} \geqslant 9 {}^{ - 4 x - 12} \geqslant 3 {}^{ - x - 6} \\ \\ \sf 3 {}^{ - x + 5} \geqslant (3 {}^{2}) {}^{ - 4x - 12} \geqslant 3 {}^{ - x - 6} \\ \\ \sf 3 {}^{ - x + 5} \geqslant 3 {}^{2( - 4x - 12)} \geqslant 3 {}^{ - x - 6} \\ \\ \sf \cancel 3 {}^{ - x + 5} \geqslant \cancel3 {}^{ - 8x - 24} \geqslant \cancel 3 {}^{ - x - 6} \\ \\ \sf - x + 5 \geqslant - 8x - 24 \geqslant - x - 6 \\ \\ \sf - x + 5 + 24 \geqslant - 8x \geqslant - x - 6 + 24 \\ \\ \sf 5 + 24 \geqslant - 8x + x \geqslant - 6 + 24 \\ \\ \sf 29 \geqslant - 7x \geqslant 18 \\ \\ \sf \frac{29}{ - 7} \geqslant x \geqslant \frac{18}{ - 7} \\ \\ \boxed{\sf - \frac{29}{7} \geqslant x \geqslant - \frac{18}{7} }$

Creio que seja isso.

Espero ter ajudado