Question

Inequação de (X+2).(-X+3)<0

Answer 1

Produto notável entre (x+2)×(-x+3), fica: -x²+3x-2x+6>0
-x²+x+6>0
∆=1²-4×(-1)×6
∆=1+24
∆=25 √∆=5
x=-1±5/-2
x'=4/-2= -2
x''=-6/-2=3, levando para reta:
- + -
------o^^^^^^^^^^^^^^o------
-2 3

Isso quer dizer que, {x e R| -2

Answer 2

Bom dia.


Vamos fazer o estudo do sinal.

Passo 1: Encontramos as raízes de cada equação do produto igualada a zero.

$x + 2 = 0\\ \\ x = -2$

$-x + 3 = 0\\ -x = -3\\ \\ x = 3$


Passo 2: Observamos o sinal de cada uma das expressões.

x + 2: Acima de -2 (ex.: -1, 0), temos valores positivos; Abaixo de -2, temos valores negativos.

-x+3: Acima de 3(ex.: 4, 5, π...) temos valores negativos; Abaixo de 3, valores positivos.

*Isso pode ser verificado experimentalmente, analisando o crescimento da reta ou fazendo as inequações mais simples: x + 2 > 0 ; x + 2 < 0; -x + 3 > 0 e -x + 3 < 0. Em casos de equação do primeiro grau, teste valores maiores e menores que a raiz e terá o comportamento geral.


Passo 3: Colocamos em uma tabela/rascunho, o sinal das equações e as raízes.

(x + 2):   - - - - - - -  (-2) + + + + + + + +
(-x + 3): + + + + + + + + + + + (3) - - - - -

O sinal de (x + 2)(-x + 3) pode ser encontrado fazendo uma reta com as duas raízes e interpretando o sinal em cada intervalo, lembrando do "Jogo de Sinais"

(x + 2):             - - - - - - -  (-2) + + + + + + + +
(-x + 3):           + + + + + + + + + + + (3) - - - - -

(x + 2)(-x + 3)  - - - - - - - (-2) + + + + (3) - - - - - 

Note que dividimos em três intervalos, sempre definidos por cada raiz e a seguinte, além de um valor arbitrariamente grande e outro pequeno.

Assim, vemos que a equação será negativa quando x for menor que -2 ou maior que três.

$S = \{x\in\mathbb{R}:\ x \ \textless \ -2\ ou \ x\ \textgreater \ 3\}$

Em notação de intervalos:

 $V = (-\infty,-2) \ \cup \ (3, \ +\infty)$