Question

Indução matemática
Alguém pode ajudar??
Use a indução matemática para demonstrar que o resultado do somatório é válido para todo natural n:
1 + 1/2 +1/4 + · · · +1/2n = 2 −1/2n

Answer 1

Testando para n=0:

$\dfrac{1}{2^0} = 2-\dfrac{1}{2^0}$

$1 =2 -1$

$1 =1$

Válido.

Agora assumimos a seguinte expressão como verdadeira:

$\displaystyle\sum_{i = 0}^{n} \dfrac{1}{2^i} = 2 - \dfrac{1}{2^n}$

Somando $\dfrac{1}{2^{n+1}}$ a ambos os lados:

$\dfrac{1}{2^{n+1}}+\displaystyle\sum_{i = 0}^{n} \dfrac{1}{2^i} = 2 - \dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{2^{n+1}}$

$\displaystyle\sum_{i = 0}^{n+1} \dfrac{1}{2^i} = 2 +\dfrac{1}{2^n}\cdot\left(\dfrac{1}{2}-1\right)$

$\displaystyle\sum_{i = 0}^{n+1} \dfrac{1}{2^i} = 2 -\dfrac{1}{2^n}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)$

$\displaystyle\sum_{i = 0}^{n+1} \dfrac{1}{2^i} = 2 -\dfrac{1}{2^{n+1}}$

A expressão é válida para n+1. Está demonstrada a propriedade.