Question

Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação diferencial: xdx+ydy=0

Answer 1

As variáveis já estão separadas, só precisamos integrar:

$\displaystyle x \, dx + y \, dy = 0 \\ \\ \\ x \, dx = - y \, dy \\ \\ \\ \int x \, dx = \int - y \, dy \\ \\ \\ \frac{1}{2} x^{2} + c' = - \frac{1}{2} y^{2} + c'' \\ \\ \\ \frac{1}{2} x^{2} = - \frac{1}{2} y^{2} + c''- c' \\ \\ \\ \frac{1}{2} x^{2} = - \frac{1}{2} y^{2} + c$

A tarefa agora é isolar o y:

$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2} = - \frac{1}{2} y^{2} + c \\ \\ \\ \frac{1}{2}y^{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+c \\ \\ \\ y^{2} = \frac{\displaystyle -\frac{1}{2}x^{2}+c}{\displaystyle \frac{1}{2}} \\ \\ \\ y^{2}=(-\frac{1}{2}x^{2}+c) \cdot 2 \\ \\ \\ y^{2}=-x^{2}+2c \\ \\ \\ \boxed{\boxed{y=\sqrt{2c-x^{2}}}}$

Answer 2

Resposta:

x² + y² = C

Explicação passo-a-passo:

A resposta do colega está correta.

Quando chegar em 1/2 x² = -1/2 y² + C, divida os termos por 1/2 para simplificar, ficando com x² = -y² + C, e depois passe o termo com y para o mesmo lado do termo com x, deixando somente a constante (que dividida por 1/2 continuará sendo uma constante) sozinha do outro lado: x² + y² = C