Question

Indique qual é a solução da equação diferencial: `xdx + ydy = xy(xdy - ydx)`

Answer 1

Vamos rearranjar a equação e tentar separar as variáveis:

$\displaystyle x \, dx + y \, dy = xy \cdot (x \, dy - y \, dx) \\ \\ \\ \frac{x \, dx + y \, dy}{xy} = x \, dy - y \, dx \\ \\ \\ \frac{x}{xy} \, dx + \frac{y}{xy} \, dy = x \, dy - y \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{y} \, dx + \frac{1}{x} \, dy = x \, dy - y \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{y} \, dx + \frac{1}{x} \, dy - x \, dy + y \, dx = 0 \\ \\ \\ (\frac{1}{y} + y) \, dx + (\frac{1}{x} - x) \, dy = 0 \\ \\ \\ (\frac{1}{y} + y) \, dx = - (\frac{1}{x} - x) \, dy$

$\displaystyle \frac{dx}{\displaystyle - (\frac{1}{x} - x)} = \frac{dy}{\displaystyle (\frac{1}{y} + y)} \\ \\ \\ \frac{1}{x - \displaystyle \frac{1}{x}} \, dx = \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{y} + y} \, dy \\ \\ \\ \frac{1}{\displaystyle \frac{x^{2} - 1}{x}} \, dx = \frac{1}{\displaystyle \frac{1 + y^{2}}{y}} \, dy \\ \\ \\ \frac{x}{x^{2} - 1} \, dx = \frac{y}{1 + y^{2}} \, dy$

Agora já podemos integrar. Vamos fazer isso com a primeira função:

$\displaystyle \int \frac{x}{x^{2} - 1} \, dx \\ \\ \\ u = x^{2} - 1 \\ \\ du = 2x \, dx \\ \\ \\ \frac{x}{2x} \cdot \int \frac{1}{u} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{2} \ln(u) + c' \\ \\ \\ \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 1) + c''$

Agora com a segunda função:

$\displaystyle \int \frac{y}{1 + y^{2}} \, dy \\ \\ \\ u = 1 + y^{2} \\ \\ du = 2y \, dy \\ \\ \\ \frac{y}{2y} \cdot \int \frac{1}{u} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{2} \ln (u) + c \\ \\ \\ \frac{1}{2} \ln (1 + y^{2}) + c'$

Portanto, temos:

$\displaystyle \int \frac{x}{x^{2} - 1} \, dx = \int \frac{y}{1 + y^{2}} \, dy \\ \\ \\ - \int \frac{y}{1 + y^{2}} \, dy = - \int \frac{x}{x^{2} - 1} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{y}{1 + y^{2}} \, dy = \int \frac{x}{x^{2} - 1} \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{2} \ln (1 + y^{2}) + c' = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 1) + c'' \\ \\ \\ \frac{1}{2} \ln (1 + y^{2}) = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 1) + c'' - c' \\ \\ \\ \frac{1}{2} \ln (1 + y^{2}) = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 1) + c$

A tarefa agora é isolar o y, pra isso vamos aplicar propriedades de exponenciação, acompanhe:

$\displaystyle \frac{1}{2} \ln (1 + y^{2}) = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 1) + c \\ \\ \\ \frac{\ln (1 + y^{2})}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 1)}{2} + c \\ \\ \\ \frac{\ln (1 + y^{2})}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 1) + 2c}{2} \\ \\ \\ 2 \ln (1 + y^{2}) = 2 [ \, \ln (x^{2} - 1) + 2c \, ] \\ \\ \\ \ln (1 + y^{2}) = \frac{\displaystyle 2 [ \, \ln (x^{2} - 1) + 2c \, ]}{2} \\ \\ \\ \ln (1 + y^{2}) = \ln (x^{2} - 1) + 2c \\ \\ \\ e^{\displaystyle \ln (1 + y^{2})} = e^{\displaystyle \ln (x^{2} - 1) + 2c}$

$\displaystyle e^{\displaystyle \ln (1 + y^{2})} = e^{\displaystyle \ln (x^{2} - 1)} \cdot e^{\displaystyle 2c} \\ \\ \\ 1+y^{2}=(x^{2}-1) \cdot e^{2c} \\ \\ \\ 1+y^{2} = e^{2c} x^{2} - e^{2c} \\ \\ \\ y^{2} = e^{2c} x^{2} - e^{2c} - 1 \\ \\ \\ \boxed{\boxed{y = \sqrt{e^{\displaystyle 2c} x^{\displaystyle 2} - e^{\displaystyle 2c} - 1}}}$

Espero que tenha lhe ajudado!