Question

Indique a função que é solução da equação diferencial y" + 2y' - 3y = 0.


y(t) = e2t


y(t) = e3t




y(t) = e-3t


y(t) = e-2t




y(t) = e-t

Answer 1

Olá.

Vamos resolver essa equação pensando. Como primeiro passo, vamos ler a EDO.

Qual a função que a derivada segunda é proporcional à derivada primeira que é proporcional à própria função?

É uma exponencial. Mas qual seu argumento? Não sabemos. Que seja r.

Propomos como solução:

$y = e^{rt}\\ y' = r\cdot e^{rt}\\ y'' = r^2 \cdot e^{rt}$

Usamos isso na EDO:

$\underbrace{(r^2 e^{rt})}_{y''} +2\underbrace{(r e^{rt})}_{y'} -3 \underbrace{e^{rt}}_{y} = 0~~~(e^{rt}\neq 0)\\ \\ \\ \bold{r^2 + 2r - 3 = 0}$

Esse é o nosso polinômio característico. Basta resolvermos. Por soma e produto é mais rápido, pois os valores com soma -2 e produto -3 são -3 e 1. Assim:

$r_1 = -3~~~~ r_2 = 1$

Desse modo, a solução geral dessa equação diferencial homogênea será uma combinação linear das exponenciais de r₁ e r₂.

$y(t) = c_1\cdot e^{r_1 t} + c_2\cdot e^{r_2 t}\\ \\ \boxed{y(t) = c_1\cdot e^{-3t} + c_2\cdot e^{t}}$

A terceira opção é a única que satisfaz a equação, pois como c₁ e c₂ são constantes, basta fazermos c₁ = 1 e c₂ = 0 que temos nossa resposta.

Dúvidas? Comente, mesmo que não seja o autor da pergunta!