Question

(Inatel-MG) A expressão $\frac{ \sqrt{30} }{ \sqrt{5} - \sqrt{3} - \sqrt{2} }$ é equivalente a:


Gabarito: $\frac{- 5 - \sqrt{10} - \sqrt{15} }{2}$

Answer 1

A gente tem que racionalizar o denominador pra encontrar o valor dessa expressão, mas, pra isso, vamos primeiro reescrevê-lo para facilitar nossos cálculos. Ah, também chamarei a expressão de $E$, porque não tenho criatividade:

$E=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt5-(\sqrt3+\sqrt2)}\\ \\ \mathrm{Agora \ podemos \ racionalizar}\\ \\ E=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt5-(\sqrt3+\sqrt2)}.\frac{\sqrt5+(\sqrt3+\sqrt2)}{\sqrt5+(\sqrt3+\sqrt2)}\\ \\ E=\frac{\sqrt{30}(\sqrt5+\sqrt3+\sqrt2)}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3+\sqrt2)^2}\\ \\ E=\frac{\sqrt{30}(\sqrt5+\sqrt3+\sqrt2)}{5-((\sqrt3)^2+2\sqrt3.\sqrt2+(\sqrt2)^2)}$

$E=\frac{\sqrt{30}(\sqrt5+\sqrt3+\sqrt2)}{5-3-2\sqrt6-2}\\ \\ E=\frac{\sqrt5.\sqrt6(\sqrt5+\sqrt3+\sqrt2)}{-2\sqrt6}\\ \\ E=-\frac{\sqrt5(\sqrt5+\sqrt3+\sqrt2)}{2}\\ \\ \boxed{\boxed{E=-\frac{5+\sqrt{15}+\sqrt{10}}{2}}}$