Question

(IME) Sabendo que m e n são inteiros positivos, tais que 3^m + 14400 = n^2, determine o resto da divisão de m + n por 5.

Answer 1

Bom, vamos utilizar o produto notável x^2 - y^2 = (x + y) * (x - y)

e a regra das potencias a^k = a^j * a^i  

3^m + 14400 = n^2

3^m = n^2 - 14400

3^m = (n + 120) * (n - 120)

3^m = 3^a * 3^b com m = a + b

3^a = n + 120  (I)

3^b = n - 120  (II)

(I) - (II)

3^a - 3^b = 240

fatoração

3^b * (3^(a - b) - 1) = 3 * 80

valor de b

3^b = 3, b = 1

valor de a

3^(a - 1) - 1 = 80

3^(a - 1) = 81 = 3^4

a - 1 = 4

a = 5

valor de m

m = a + b = 5 + 1 = 6

valor de n^2 e n

n^2 = 3^6 + 14400 = 15129

n = 123

determine o resto da divisão de m+n por 5

n + m = 123 + 6 = 129

129 = 5 * 25 + 4

Logo, o resto vale  4.