Question

(Ime 2014) Sejam uma circunferência C com centro O e raio R, e uma reta r tangente a C no ponto T. Traça-se o diâmetro AB oblíquo a r. A projeção de AB sobre r é o segmento PQ. Sabendo que a razão entre OQ e o raio R é (raiz) 7 sobre 2, o ângulo, em radianos, entre AB e PQ é

a) pi sobre 4
b) pi sobre 6
c) 5 pi sobre 18
d) pi sobre 3
e) 7 pi sobre 18

Answer 1

Antes de tudo, observe o anexo ao final (obs : "fora de escala"). Vou explicá-lo.

Seja $\mathsf{R}$ o raio da circunferência $\mathsf{C}$, de centro $\mathsf{O}$.

Sendo $\mathsf{T}$ o ponto de tangência da reta $\mathsf{r}$ na  circunferência $\mathsf{C}$, o segmento de raio $\mathsf{\overline{OT}}$ é perpendicular à reta $\mathsf{r}$.

Vamos traçar um diâmetro $\mathsf{\overline{AB}}$ que é transversal à reta $\mathsf{r}$.

Após isso, marcamos as projeções ortogonais de $\mathsf{A}$ e de $\mathsf{B}$ em $\mathsf{r}$. Assim fazendo, desenhamos o segmento $\mathsf{\overline{PQ}}$ sobre $\mathsf{r}$.

Sabendo que retas paralelas conservam ângulos em relação a uma transversal, vamos traçar um segmento de reta paralelo ao diâmetro $\mathsf{\overline{AB}}$, que intercepta $\mathsf{r}$ em um ponto das projeções ortogonais, nesse caso do desenho $\mathsf{Q}$. Chamaremos esse segmento paralelo de $\mathsf{\overline{QQ'}}$.

Assim, o ângulo que queremos descobrir é $\mathsf{P\widehat{Q}Q'}$.

Uma útil consideração $\Longrightarrow$

$\circ$ Como $\mathsf{\overline{QQ'}}$ é a paralela de $\mathsf{\overline{AB}}$ sobre a sua projeção ortogonal em $\mathsf{r}$, então qualquer distância paralela a $\mathsf{\overline{OB} \ = \ R}$ se conserva, ou seja :

$\mathsf{\rightsquigarrow \ \overline{O'Q} \ = \ R}$

Pitágoras em $\mathsf{\triangle OTQ}$, sendo $\mathsf{\overline{OT} \ = \ R}$ e $\mathsf{\overline{OQ} \ = \ \dfrac{\sqrt{7} \cdot R}{2}} \ \rightarrow$

$\mathsf{\overline{OQ}^2 \ = \ \overline{OT}^2 \ + \ \overline{QT}^2 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\bigg(\dfrac{\sqrt{7} \cdot R}{2}\bigg)^2 \ = \ R^2 \ + \ \overline{QT}^2 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{\overline{QT} \ = \ \dfrac{\sqrt{3} \cdot R}{2}}}}$

No $\mathsf{\triangle O'QT \ \rightarrow}$

$\mathsf{\cos(P\widehat{Q}Q') \ = \ \dfrac{\overline{QT}}{\overline{O'Q}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\cos(P\widehat{Q}Q') \ = \ \dfrac{\frac{\sqrt{3} \cdot \not{R}}{2}}{\not{R}}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\cos(P\widehat{Q}Q') \ = \ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{P\widehat{Q}Q' \ = \ 30^\circ \ ou \ \dfrac{\pi}{6}}}} \ \Longrightarrow \ \mathsf{\big(0 \ \ \textless \ \ P\widehat{Q}Q' \ \ \textless \ \ \frac{\pi}{2}\big)}$

Portanto, $\boxed{\boxed{\mathsf{Alternativa \ a)}}}$!

$\mathsf{\heartsuit \mathbb{JN}}$