Question

(Imagem) Soma de módulos com raízes.
Bom dia! Obrigado desde já :)

Answer 1

$\text k = \sqrt{\text x+2\sqrt{\text x-1}} + \sqrt{\text x-2\sqrt{\text x-1}}$

Elevando ao quadrado dos dois lados :

$\text k^2 = (\sqrt{\text x+2\sqrt{\text x-1}})^2 +2.\sqrt{\text x+2\sqrt{\text x-1}}.\sqrt{\text x-2\sqrt{\text x-1}} +(\sqrt{\text x-2\sqrt{\text x-1}})^2$

$\text k^2 = \text x+2\sqrt{\text x-1}} +2.\sqrt{(\text x+2\sqrt{\text x-1})(\text x-2\sqrt{\text x-1})} + \text x-2\sqrt{\text x-1}}$

$\text k^2 = 2.\text x+2.\sqrt{\text x^2-(2\sqrt{\text x-1})^2$

$\text k^2 = 2.\text x+2.\sqrt{\text x^2-4(\text x-1})$

$\text k^2 = 2.\text x+2.\sqrt{\text x^2-4\text x+4}$

$\text k^2 = 2.\text x+2.\sqrt{(\text x-2)^2$

O enunciado diz que $\text x \in [1,2]$, mas se ali dentro da raiz for x =1 temos uma raíz negativa, então ela tem que sair em módulo :

$\text k^2 = 2.\text x+2|\text x-2|$

Analisando os casos :

1º $|\text x-2| = \text x - 2 \ , \ \text{se x}-2 \geq 0$

$\text k^2 = 2.\text x+2(\text x-2)$

$\text k^2 = 2.\text x+2\text x-4$

$\text k^2 = 4.\text x-4$

$\text k = \sqrt{4.(\text x - 1)}$

$\text k = 2\sqrt{\text x-1}$

$\text x - 1 \geq 0 \to \text x \geq 1$ ( só provamos a condição de existência )

2º$|\text x - 2| = -\text x + 2 \ , \ \text{se x}-2 < 0$

$\text k^2 = 2.\text x+2(-\text x+2)$

$\text k^2 = 2.\text x-2\text x+4$

$\text k^2 = 4$

$\text k = \pm 2$

Se as raízes são positivas ao somar com outra raiz positiva vai continuar positiva, logo sinal negativo não convém.

Portanto :

$\huge\boxed{\text k = 2}\checkmark$

Letra b