Question

II) Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno do eixo indicado.

b) Y = 12-x^2 e y = x e x = 0 (1º quadrante em torno do eixo y) Usar método do invólucro.

Answer 1

Nosso sólido foi gerado pela rotação em torno do eixo y,

Usando o método das cascas cilíndricas,
devemos traçar uma reta auxiliar paralela ao eixo de rotação.
Para descobrirmos a variação de altura.

Onde,

V = 2π∫xΔh

x é a distancia da curva ao eixo de rotação.

d = x - 0

0 porque, x = 0 no eixo y

d = x

Δh = Função superior - Função inferior

Δh = (12-x²)-x

Δh = -x²-x+12
----------------------------

Os limites de integração é a interseção das funções

12-x² = x

x²+x -12 = 0

Resolvendo a bascara,

Teremos,

x = -4

x = 3

Porém, 

x = -4 descartamos,
Pois, a questão quer a região do primeiro quadrante,

Então, 


0 ≤ x ≤ 3


logo,

$\\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {x(-x^2-x+12)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {(-x^3-x^2+12x)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi ( - \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} +6x^2)|(0,3) \\ \\ V = 2 \pi ( -\frac{81}{4} -9 + 54) \\ \\ V = 2 \pi ( - \frac{81}{4} + 45) \\ \\ V = \frac{99 \pi }{2} u.v$

Observe a imagem abaixo:

Como temos a condição da reta  x = 0

O solido é a região que está acima da reta y = x